Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial exata:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
. Calculamos:
A partir disso, o fator integrante
é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata agora.
Passo 6
Agora, encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 7
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos ignorar
na solução geral.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.