Resolva a equação diferencial.
(2 y^2+3 x)+2 x y d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial que é:
(2 y^2+3 x) + 2 x y d yd x = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial exata:
(2y^2 + 3x) , dx + 2xy , dy = 0
Aqui, identificamos M(x, y) = 2y^2 + 3x e N(x, y) = 2xy .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4y e partial Npartial x = 2y
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de x . Calculamos:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 4y - 2y2xy = 2y2xy = 1x
A partir disso, o fator integrante mu(x) é:
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln x = x

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x :
x(2y^2 + 3x) , dx + x(2xy) , dy = 0 Rightarrow (2x y^2 + 3x^2) , dx + 2x^2 y , dy = 0
Agora, verificamos novamente se a equação é exata:
partialpartial y(2x y^2 + 3x^2) = 4x y e partialpartial x(2x^2 y) = 4x y
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata agora.

Passo 6

Agora, encontramos uma função psi(x, y) tal que:
partial psipartial x = 2x y^2 + 3x^2
Integrando em relação a x :
psi(x, y) = integral (2x y^2 + 3x^2) dx = x^2 y^2 + x^3 + h(y)
Onde h(y) é uma função de y apenas.

Passo 7

Para determinar h(y) , derivamos psi(x, y) em relação a y e igualamos a N :
partial psipartial y = 2x^2 y + h'(y) = 2x^2 y
Isso implica que h'(y) = 0 , então h(y) é uma constante. Podemos ignorar h(y) na solução geral.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x^2 y^2 + x^3 = C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados