Nos problemas 7a 27, avalie cada limite. Indique quais das Propriedades de 1a 10 são usadas.
lim x 1 (1 / raizx)-11-x

Passo 1

O enunciado pede
limxto11raizx-11-x
que é uma forma indeterminada tfrac00. O conteúdo envolve limites de funções racionais e radicais e uso das Propriedades de limites (1 a 10) para manipular e avaliar esse quociente.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador por l(tfrac1raizx+1r), que vale 1 em valor absoluto. Usamos a Propriedade 2 (limite do produto) e Propriedade 4 (multiplicar por 1 não altera o valor):
1raizx-11-x =l(1raizx-1r)l(1raizx+1r)(1-x)l(1raizx+1r)

Passo 3

No numerador aplicamos a identidade de diferença de quadrados
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
com a=tfrac1raizx e b=1. Isso é simplificação algébrica, apoiada na Propriedade 7 (operações algébricas dentro do limite):
l(tfrac1raizx-1r)l(tfrac1raizx+1r) =1x-1

Passo 4

Reescrevemos 1x-1 como 1-xx. Aqui usamos a Propriedade 1 (limite de diferença) e Propriedade 3 (limite de quociente):
1x-11-x =1-xx1-x =1-xx,(1-x)

Passo 5

Cancelamos o fator comum 1-x em numerador e denominador, valendo a Propriedade 8 (cancelamento de fator):
1-xx,(1-x) =1x
Na verdade resta
1xl(tfrac1raizx+1r)

Passo 6

Agora aplicamos as leis de limites para produto e quociente (Propriedades 2 e 3) e para radiciação (Propriedade 6):
limxto11xl(1raizx+1r) =1limxto1x;l(limxto1tfrac1raizx+1r)

Passo 7

Como x e raizx são funções contínuas, temos (Propriedade 9 de continuidade e Propriedade 5 de potência)
limxto1x=1, limxto11raizx =1raizlimxto1x =11=1
Logo
11,(1+1)=12

Resposta

12.
Propriedades usadas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

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