Considere que f(x), g(x) in K[x] têm graus menores ou iguais a n e sejam c1, cdots, cn, cn+1 elementos distintos em K. Se f(ci)=g(ci) para i=1, cdots, n, n+1, prove que f(x)=g(x) em K[x].

Passo 1

O enunciado afirma que temos dois polinômios f(x),g(x)in K[x] de grau no máximo n e que existem n+1 elementos distintos c1,ldots,cn+1in K tais que
f(ci)=g(ci) para i=1,dots,n+1
O conteúdo principal aqui é o fato de que um polinômio não nulo de grau <= n não pode ter mais de n raízes distintas.

Passo 2

Definimos o polinômio
h(x)=f(x)-g(x)
Como f e g têm grau <= n, segue que deg(h)<= n.

Passo 3

Para cada i=1,dots,n+1 temos
h(ci)=f(ci)-g(ci)=0,
ou seja, h(x) tem pelo menos n+1 raízes distintas.

Passo 4

Pela propriedade de polinômios em um corpo, um polinômio não nulo de grau m pode ter no máximo m raízes distintas. Aqui deg(h)<= n, mas encontramos n+1 raízes distintas, o que só é possível se h for o polinômio zero. Logo,
h(x)equiv 0

Passo 5

Como h(x)=f(x)-g(x)equiv0, segue que
f(x)=g(x)
em K[x].

Resposta

f(x)=g(x) em K[x].

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