Considere que
têm graus menores ou iguais a
e sejam
elementos distintos em
. Se
para
, prove que
em
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos dois polinômios
de grau no máximo
e que existem
elementos distintos
tais que
O conteúdo principal aqui é o fato de que um polinômio não nulo de grau
não pode ter mais de
raízes distintas.
Passo 2
Definimos o polinômio
Como
e
têm grau
, segue que
.
Passo 3
Para cada
temos
ou seja,
tem pelo menos
raízes distintas.
Passo 4
Pela propriedade de polinômios em um corpo, um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo
raízes distintas. Aqui
, mas encontramos
raízes distintas, o que só é possível se
for o polinômio zero. Logo,
Passo 5
Como
, segue que
em
.