Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O polinômio
é redutível em
.
O polinômio
Passo 1
Resumindo, queremos decidir se
é redutível em
. O conteúdo dessa questão envolve o Lema de Gauss (que relaciona fatoração em
e em
) e teste de irreducibilidade via redução módulo primo.
Passo 2
Primeiro, calculamos o conteúdo de
, isto é, o máximo divisor comum dos coeficientes:
Logo podemos escrever
onde
é o polinômio primitivo
Passo 3
Aplicamos o teste de redução módulo
. Como
e
é múltiplo de
, a redução de
em
é
Em
não há raízes (para
dá
, para
dá
), logo não há fator linear. O único polinômio quadrático irreducível em
é
, e fazendo a divisão de
por
percebe-se que não há divisão exata. Concluímos que
é irreduzível em
.
Passo 4
Pelo Lema de Gauss,
irreduzível em
é equivalente a
irreduzível em
, e se a redução de um polinômio primitivo módulo um primo
é irreduzível em
, então o polinômio original é irreduzível em
. Assim,
é irreduzível em
e, portanto,
não é redutível de forma não trivial em
.
Resposta
Falso. O polinômio
é irredutível em
.