Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
O polinômio f(X)=5 X^5-2025 X^3+201!X+5 é redutível em Z[X].

Passo 1

Resumindo, queremos decidir se
f(X)=5X^5-2025X^3+201!X+5
é redutível em Z[X]. O conteúdo dessa questão envolve o Lema de Gauss (que relaciona fatoração em Z[X] e em Q[X]) e teste de irreducibilidade via redução módulo primo.

Passo 2

Primeiro, calculamos o conteúdo de f, isto é, o máximo divisor comum dos coeficientes:
gcd(5,,-2025,,201!,,5)=5
Logo podemos escrever
f(X)=5cdot g(X),
onde g é o polinômio primitivo
g(X)=X^5-405X^3+201!5,X+1

Passo 3

Aplicamos o teste de redução módulo 2. Como 5equiv1pmod2 e 201! é múltiplo de 2, a redução de g em F2[X] é
g(X)=X^5+X^3+1
Em F2 não há raízes (para X=0 1, para X=1 1+1+1=1), logo não há fator linear. O único polinômio quadrático irreducível em F2[X] é X^2+X+1, e fazendo a divisão de g(X) por X^2+X+1 percebe-se que não há divisão exata. Concluímos que g(X) é irreduzível em F2[X].

Passo 4

Pelo Lema de Gauss, g irreduzível em Z[X] é equivalente a g irreduzível em Q[X], e se a redução de um polinômio primitivo módulo um primo p é irreduzível em Fp[X], então o polinômio original é irreduzível em Z[X]. Assim, g é irreduzível em Z[X] e, portanto, f=5cdot g não é redutível de forma não trivial em Z[X].

Resposta

Falso. O polinômio f é irredutível em Z[X].

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