Sejam K um corpo e f(x) in K[x]. Se c in K e f(x+c) é irredutível em K[x], prove que f(x) é irredutível em K[x]. [Sugestão: Prove a contra-positiva]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num corpo K, se f(x+c) é irreduzível em K[x] então f(x) também é irreduzível em K[x]. O conteúdo central é irreducibilidade de polinômios e vamos usar a ideia de provar a contraposita, junto com o fato de que a troca de variável xmapsto x+c é um automorfismo de K[x].

Passo 2

Definimos a aplicação
varphic:K[x]longrightarrow K[x], varphicl(g(x)r)=g(x+c)
Como varphi-c satisfaz varphi-ccircvarphic=id, vemos que varphic é um isomorfismo de anéis. Em particular, ele preserva fatorações não triviais e, portanto, preserva o caráter de ser redutível ou irreduzível.

Passo 3

Para provar a contraposita, suponha que f(x) seja redutível em K[x]. Então existem polinômios não constantes g(x),,h(x)in K[x] tais que
f(x)=g(x),h(x)

Passo 4

Aplicando o isomorfismo varphic à fatoração acima, obtemos
f(x+c)=varphicl(f(x)r) =varphicl(g(x)r),varphicl(h(x)r) = g(x+c),h(x+c),
que é uma fatoração não trivial de f(x+c). Logo f(x+c) é redutível em K[x].

Resposta

Pela contraposita, se f(x+c) não pode ser redutível (isto é, é irreduzível), então f(x) também não pode ser redutível, ou seja, f(x) é irreduzível em K[x].

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