Sejam
um corpo e
. Se
e
é irredutível em
, prove que
é irredutível em
. [Sugestão: Prove a contra-positiva]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num corpo
, se
é irreduzível em
então
também é irreduzível em
. O conteúdo central é irreducibilidade de polinômios e vamos usar a ideia de provar a contraposita, junto com o fato de que a troca de variável
é um automorfismo de
.
Passo 2
Definimos a aplicação
Como
satisfaz
, vemos que
é um isomorfismo de anéis. Em particular, ele preserva fatorações não triviais e, portanto, preserva o caráter de ser redutível ou irreduzível.
Passo 3
Para provar a contraposita, suponha que
seja redutível em
. Então existem polinômios não constantes
tais que
Passo 4
Aplicando o isomorfismo
à fatoração acima, obtemos
que é uma fatoração não trivial de
. Logo
é redutível em
.
Resposta
Pela contraposita, se
não pode ser redutível (isto é, é irreduzível), então
também não pode ser redutível, ou seja,
é irreduzível em
.