Considere que o tempo de execução T(x) de um algoritmo é modelado pela função T(x) = 1 / (x ln x) para x > 1. Determine se a integral que calcula o tempo total de execução para entradas de tamanho x indo ao infinito converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que modela o tempo de execução de um algoritmo, que é para . O objetivo aqui é descobrir se a integral que calcula o tempo total de execução, considerando entradas de tamanho indo até o infinito, converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre a convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que representa o tempo total de execução:
Aqui, é algum valor maior que 1, já que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. A função sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Com a substituição e , nossa integral fica:
Isso simplifica bastante a integração.

Passo 5

A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então, voltando para :

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o limite dessa antiderivada quando tende ao infinito:
O termo cresce sem limite conforme vai para o infinito, enquanto é uma constante finita.

Passo 7

Como vai para infinito quando tende ao infinito, a diferença também vai para infinito. Portanto, a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral que calcula o tempo total de execução para entradas de tamanho indo ao infinito diverge.

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