Considere que o tempo de execução
de um algoritmo é modelado pela função
para
. Determine se a integral que calcula o tempo total de execução para entradas de tamanho
indo ao infinito converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que modela o tempo de execução de um algoritmo, que é
para
. O objetivo aqui é descobrir se a integral que calcula o tempo total de execução, considerando entradas de tamanho
indo até o infinito, converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (vai para infinito). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre a convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que representa o tempo total de execução:
Aqui,
é algum valor maior que 1, já que
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. A função
sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Com a substituição
e
, nossa integral fica:
Isso simplifica bastante a integração.
Passo 5
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então, voltando para
:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar o limite dessa antiderivada quando
tende ao infinito:
O termo
cresce sem limite conforme
vai para o infinito, enquanto
é uma constante finita.
Passo 7
Como
vai para infinito quando
tende ao infinito, a diferença
também vai para infinito. Portanto, a integral não converge para um valor finito.
Resposta
A integral que calcula o tempo total de execução para entradas de tamanho
indo ao infinito diverge.