Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que analisar a integral imprópria
. Isso significa que vamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a integral é imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver, precisamos calcular o limite da integral definida quando o limite superior tende ao infinito. Ou seja, reescrevemos a integral como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 4
Vamos agora aplicar essa antiderivada nos limites de integração de 1 a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
O termo
tende a zero quando
vai para o infinito.
Resposta
A integral imprópria
converge e o seu valor é
.