Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule se ela convergir.
integral1^infty 5x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que analisar a integral imprópria . Isso significa que vamos verificar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral é imprópria porque o limite superior é o infinito. Para resolver, precisamos calcular o limite da integral definida quando o limite superior tende ao infinito. Ou seja, reescrevemos a integral como:
limb to infty integral1^b 5x^3 , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1) . Sabemos que:
integral 5x^3 , dx = 5 integral x^-3 , dx = 5 ( x^-2-2 ) + C = -52x^2 + C
Aqui, , então:

Passo 4

Vamos agora aplicar essa antiderivada nos limites de integração de 1 a integral1^b 5x^3 , dx = [ -52x^2 ]1^b = ( -52b^2 ) - ( -52(1)^2 ) = -52b^2 + 52 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limb to infty ( -52b^2 + 52 ) = 0 + 52 = 52 tende ao infinito:
O termo tende a zero quando vai para o infinito.

Resposta

A integral imprópria converge e o seu valor é .

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