Verifique se
é contínua nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função
é contínua nos pontos
e
. A função está definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade em um ponto e como verificar isso em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Vamos começar verificando a continuidade no ponto
.
Passo 3
Verificando a continuidade em
:
-
Valor da função no ponto:
(segundo a definição da função). -
Calculando o limite quando
se aproxima de :
Vamos ver se o limite dequando é igual a 1. Para isso, testamos diferentes caminhos de aproximação:-
Caminho 1:
-
Caminho 2:
-
Caminho 3:
(onde é uma constante)
Como o limite depende do caminho escolhido e assume valores diferentes (por exemplo,, , etc.), o limite geral não existe. -
-
Comparando o limite com o valor da função:
Já que o limite não existe (não é único), ele definitivamente não é igual a.
Conclusão: A função
não é contínua no ponto
.
Passo 4
Verificando a continuidade em
:
-
Valor da função no ponto:
Como, usamos a outra parte da definição: -
Calculando o limite quando
se aproxima de :
Já que a função é definida por uma expressão racional contínua em todos os pontos exceto, podemos simplesmente substituir e na expressão para encontrar o limite: -
Comparando o limite com o valor da função:
Conclusão: A função
é contínua no ponto
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, mas é contínua no ponto
.