Verifique se f é contínua nos pontos (0,0) e 1,1. f(x, y) = { x² / (2x² + y²) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é contínua nos pontos e . A função está definida assim:
Vamos precisar entender o que é continuidade em um ponto e como verificar isso em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Vamos começar verificando a continuidade no ponto .

Passo 3

Verificando a continuidade em :
  1. Valor da função no ponto:
    (segundo a definição da função).
  2. Calculando o limite quando se aproxima de :
    Vamos ver se o limite de quando é igual a 1.
    Para isso, testamos diferentes caminhos de aproximação:
    • Caminho 1:
    • Caminho 2:
    • Caminho 3: (onde é uma constante)
    Como o limite depende do caminho escolhido e assume valores diferentes (por exemplo, , , etc.), o limite geral não existe.
  3. Comparando o limite com o valor da função:
    Já que o limite não existe (não é único), ele definitivamente não é igual a .
Conclusão: A função não é contínua no ponto .

Passo 4

Verificando a continuidade em :
  1. Valor da função no ponto:
    Como , usamos a outra parte da definição:
  2. Calculando o limite quando se aproxima de :
    Já que a função é definida por uma expressão racional contínua em todos os pontos exceto , podemos simplesmente substituir e na expressão para encontrar o limite:
  3. Comparando o limite com o valor da função:
Conclusão: A função é contínua no ponto .

Resposta

A função não é contínua no ponto , mas é contínua no ponto .

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