Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça todas as condições dadas:
(a)
e
.
e
não está definida.
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico de uma função
que satisfaz algumas condições específicas de limites e valores nos pontos. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo, mais precisamente sobre limites e tipos de descontinuidades em funções. Vamos precisar entender como os limites se comportam quando nos aproximamos de certos pontos e como esses comportamentos influenciam o gráfico da função.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as condições dadas para a parte (a):
-
-
-
-
-
-
-
não está definida
Isso significa que temos dois pontos críticos:
e
, e também um ponto onde a função não está definida:
.
Passo 3
Vamos começar pelo ponto
:
- Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ), se aproxima de 2. - Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ), se aproxima de -2. - O valor da função em
é , que coincide com o limite pela esquerda.
Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em
.
Passo 4
Agora, vamos para o ponto
:
- Quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ), se aproxima de 0. - Quando
se aproxima de 2 pela direita ( ), se aproxima de 1. - O valor da função em
é , que coincide com o limite pela direita.
Também aqui temos uma descontinuidade do tipo salto em
.
Passo 5
Além disso,
não está definida, o que significa que há uma assíntota ou um buraco no gráfico em
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Para
: se aproxima de 2 quando se aproxima de 1 pela esquerda. - Em
: , então marcamos um ponto sólido em (1,2). - Para
e próximo a 1: se aproxima de -2. - Para
: Podemos desenhar uma linha que vem de -2 em e se aproxima de 0 em . - Em
: , então marcamos um ponto sólido em (2,1). - Para
: se aproxima de 1 quando se aproxima de 2 pela direita. - Em
: Não há definição, então deixamos um ponto vazio ou um buraco no gráfico.
Passo 7
Agora, vamos analisar as condições para a parte (b):
Aqui temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 8
Vamos começar pelo ponto
:
- Quando
se aproxima de 3 pela esquerda ( ), se aproxima de 2. - Quando
se aproxima de 3 pela direita ( ), se aproxima de 4. - O valor da função em
é , que não coincide com nenhum dos limites laterais.
Isso indica que temos uma descontinuidade do tipo salto em
.
Passo 9
Agora, vamos para o ponto
:
- Quando
se aproxima de -2 de qualquer lado ( ), se aproxima de 2. - O valor da função em
é , que difere do limite.
Aqui podemos ter uma descontinuidade tipo buraco em
.
Passo 10
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Para
: se aproxima de 2 quando se aproxima de -2. - Em
: , então marcamos um ponto vazio em (-2,2) e um ponto sólido em (-2,1). - Para
: segue de 2 em até se aproximar de 2 em . - Em
: , então marcamos um ponto sólido em (3,3). - Para
: se aproxima de 4 quando se aproxima de 3 pela direita. - Entre 3 e outro ponto: Podemos desenhar uma linha que vem de 4 em
.
Resposta
O esboço do gráfico de uma função
que satisfaz as condições dadas na parte (b) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em
com
, e uma descontinuidade do tipo buraco em
com
.