Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas:
(a) lim x 1^- f(x)=2, lim x 1^+ f(x)=-2 e f(1)=2.
lim x 2^- f(x)=0, lim x 2^+ f(x)=1, f(2)=1 e f(0) não está definida.
(b) lim x 3^+ f(x)=4, lim x 3^- f(x)=2, lim x -2 f(x)=2, f(3)=3 e f(-2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico de uma função f que satisfaz algumas condições específicas de limites e valores nos pontos. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo, mais precisamente sobre limites e tipos de descontinuidades em funções. Vamos precisar entender como os limites se comportam quando nos aproximamos de certos pontos e como esses comportamentos influenciam o gráfico da função.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas para a parte (a):
  • lim x 1^- f(x)=2
  • lim x 1^+ f(x)=-2
  • f(1)=2
  • lim x 2^- f(x)=0
  • lim x 2^+ f(x)=1
  • f(2)=1
  • f(0) não está definida
Isso significa que temos dois pontos críticos: x=1 e x=2, e também um ponto onde a função não está definida: x=0.

Passo 3

Vamos começar pelo ponto x=1:
  • Quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x 1^-), f(x) se aproxima de 2.
  • Quando x se aproxima de 1 pela direita ( x 1^+), f(x) se aproxima de -2.
  • O valor da função em x=1 é f(1)=2, que coincide com o limite pela esquerda.
Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em x=1.

Passo 4

Agora, vamos para o ponto x=2:
  • Quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( x 2^-), f(x) se aproxima de 0.
  • Quando x se aproxima de 2 pela direita ( x 2^+), f(x) se aproxima de 1.
  • O valor da função em x=2 é f(2)=1, que coincide com o limite pela direita.
Também aqui temos uma descontinuidade do tipo salto em x=2.

Passo 5

Além disso, f(0) não está definida, o que significa que há uma assíntota ou um buraco no gráfico em x=0.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  1. Para x < 1: f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda.
  2. Em x=1: f(1)=2, então marcamos um ponto sólido em (1,2).
  3. Para x > 1 e x próximo a 1: f(x) se aproxima de -2.
  4. Para 1 < x < 2: Podemos desenhar uma linha que vem de -2 em x=1^+ e se aproxima de 0 em x=2^-.
  5. Em x=2: f(2)=1, então marcamos um ponto sólido em (2,1).
  6. Para x > 2: f(x) se aproxima de 1 quando x se aproxima de 2 pela direita.
  7. Em x=0: Não há definição, então deixamos um ponto vazio ou um buraco no gráfico.

Passo 7

Agora, vamos analisar as condições para a parte (b):
  • lim x 3^+ f(x)=4
  • lim x 3^- f(x)=2
  • lim x -2 f(x)=2
  • f(3)=3
  • f(-2)=1
Aqui temos dois pontos críticos: x=3 e x=-2.

Passo 8

Vamos começar pelo ponto x=3:
  • Quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( x 3^-), f(x) se aproxima de 2.
  • Quando x se aproxima de 3 pela direita ( x 3^+), f(x) se aproxima de 4.
  • O valor da função em x=3 é f(3)=3, que não coincide com nenhum dos limites laterais.
Isso indica que temos uma descontinuidade do tipo salto em x=3.

Passo 9

Agora, vamos para o ponto x=-2:
  • Quando x se aproxima de -2 de qualquer lado ( x -2), f(x) se aproxima de 2.
  • O valor da função em x=-2 é f(-2)=1, que difere do limite.
Aqui podemos ter uma descontinuidade tipo buraco em x=-2.

Passo 10

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  1. Para x < -2: f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de -2.
  2. Em x=-2: f(-2)=1, então marcamos um ponto vazio em (-2,2) e um ponto sólido em (-2,1).
  3. Para -2 < x < 3: f(x) segue de 2 em x=-2^+ até se aproximar de 2 em x=3^-.
  4. Em x=3: f(3)=3, então marcamos um ponto sólido em (3,3).
  5. Para x > 3: f(x) se aproxima de 4 quando x se aproxima de 3 pela direita.
  6. Entre 3 e outro ponto: Podemos desenhar uma linha que vem de 4 em x=3^+.

Resposta

O esboço do gráfico de uma função f que satisfaz as condições dadas na parte (b) apresenta uma descontinuidade do tipo salto em x=3 com f(3)=3, e uma descontinuidade do tipo buraco em x=-2 com f(-2)=1.

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