Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule se ela convergir.
integral-infty^0 x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a integral imprópria integral-infty^0 x e^-2x , dx converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais impróprias e como calcular integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria é aquela que tem limites de integração infinitos ou uma função que não é contínua no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é -infty, então precisamos verificar o comportamento da função f(x) = x e^-2x à medida que x vai para -infty.

Passo 3

Vamos substituir o limite inferior -infty por um valor a que vai para -infty. Assim, a integral fica:
lima to -infty integrala^0 x e^-2x , dx
Isso facilita o cálculo, pois agora estamos trabalhando com limites finitos e depois passando o limite.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral x e^-2x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos:
  • u = x então du = dx
  • dv = e^-2x dx então v = -12 e^-2x

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
integral x e^-2x , dx = u v - integral v , du = x (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) dx
Simplificando:
= -12 x e^-2x + 14 e^-2x + C

Passo 6

Agora, voltamos à nossa integral original com os limites:
lima to -infty [ -12 x e^-2x + 14 e^-2x ]a^0
Vamos calcular nas extremidades 0 e a.

Passo 7

Primeiro, avaliando em 0:
-12 cdot 0 cdot e^0 + 14 e^0 = 0 + 14 = 14
Agora, avaliando em a:
-12 a e^-2a + 14 e^-2a

Passo 8

Precisamos agora calcular o limite quando a to -infty de -12 a e^-2a + 14 e^-2a. Observando que e^-2a com a to -infty é equivalente a e^+ infty, que tende a infinito. Mas multiplicado por a, que tende a -infty, temos uma forma do tipo (-infty) cdot (+infty), que requer uma análise mais cuidadosa. No entanto, a exponencial cresce mais rápido que qualquer função polinomial, então o termo dominante é 14 e^-2a que tende a +infty.

Passo 9

Mas aqui está um detalhe importante: nosso limite é de a to -infty, então na verdade e^-2a = e^2|a| que cresce para +infty, mas estamos subtraindo esse termo no cálculo final. Portanto, o termo -12 a e^-2a domina e na verdade tende a 0, pois a é negativo e o crescimento de e^-2a compensa. Assim, o limite total tende a 0.

Passo 10

Finalmente, substituindo os valores no limite:
lima to -infty ( -12 a e^-2a + 14 e^-2a ) = 0
Então, a integral converge e seu valor é:
14 - 0 = 14

Resposta

A integral imprópria integral-infty^0 x e^-2x , dx converge e seu valor é 14.

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