Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais impróprias e como calcular integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria é aquela que tem limites de integração infinitos ou uma função que não é contínua no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é
, então precisamos verificar o comportamento da função
à medida que
vai para
.
Passo 3
Vamos substituir o limite inferior
por um valor
que vai para
. Assim, a integral fica:
Isso facilita o cálculo, pois agora estamos trabalhando com limites finitos e depois passando o limite.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
-
então -
então
Passo 5
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à nossa integral original com os limites:
Vamos calcular nas extremidades
e
.
Passo 7
Primeiro, avaliando em
:
Agora, avaliando em
:
Passo 8
Precisamos agora calcular o limite quando
de
. Observando que
com
é equivalente a
, que tende a infinito. Mas multiplicado por
, que tende a
, temos uma forma do tipo
, que requer uma análise mais cuidadosa. No entanto, a exponencial cresce mais rápido que qualquer função polinomial, então o termo dominante é
que tende a
.
Passo 9
Mas aqui está um detalhe importante: nosso limite é de
, então na verdade
que cresce para
, mas estamos subtraindo esse termo no cálculo final. Portanto, o termo
domina e na verdade tende a
, pois
é negativo e o crescimento de
compensa. Assim, o limite total tende a
.
Passo 10
Finalmente, substituindo os valores no limite:
Então, a integral converge e seu valor é:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.