Considere tentativas independentes, cada uma delas levando ao resultado i, i=0,1, ldots, k, com probabilidade pi, sumi=0^k pi=1. Suponha que N represente o número de tentativas necessárias para que se obtenha um resultado diferente de 0 , e chame de X este resultado.
(a) Determine PN=n, n >= 1.
(b) Determine PX=j, j=1, ldots, k.
(c) Mostre que PN=n, X=j=PN= n PX=j
(d) É intuitivo para você que N seja independente de X ?
(e) É intuitivo para você que X seja independente de N ?

Passo 1

O enunciado diz que temos tentativas independentes cujo resultado em cada tentativa é um valor iin0,1,dots,k com probabilidade ,pi e sumi=0^k pi=1. Definimos N como o número de tentativas até obter o primeiro resultado diferente de 0 e chamamos esse resultado de X. O que precisamos é:
  1. A lei de N.
  2. A lei de X.
  3. Mostrar que N e X são independentes.
  4. Comentar se isso é intuitivo.

Passo 2

Para obter N=n é preciso fracassar (resultado 0) nas n-1 primeiras tentativas e ter sucesso (resultado neq0) na n-ésima. A probabilidade de fracasso é p0 e a de sucesso é
1-p0=sumi=1^k pi
Logo
PN=n = p0^,n-1,(1-p0), n>=1

Passo 3

Para X=j com jin1,dots,k, note que X é o valor da tentativa na qual ocorre o primeiro não-zero. Podemos usar que
PN=n,;X=j = p0^,n-1,pj,
e somar em n>=1:
PX=j =sumn=1^infty p0^,n-1,pj =pjsumn=0^infty p0^,n =pj1-p0

Passo 4

Já temos
PN=n=p0^,n-1(1-p0), PX=j=pj1-p0,
e
PN=n,X=j = p0^,n-1,pj
Multiplicando as marginais:
PN=n,PX=j =p0^,n-1(1-p0),pj1-p0 = p0^,n-1,pj = PN=n,X=j
Isso mostra a independência de N e X.

Passo 5

Intuitivamente, faz sentido que o número de tentativas até o primeiro sucesso ( N) não “informe” qual valor não-zero apareceu ( X), e vice-versa. O processo de repetir falhas até um sucesso não carrega informação sobre se esse sucesso será, por exemplo, 1 ou k.

Resposta

(a) PN=n=p0^,n-1(1-p0), n>=1.
(b) PX=j=pj1-p0, j=1,dots,k.
(c) PN=n,X=j=p0^,n-1pj = PN=nPX=j.
(d) Sim, é intuitivo que N seja independente de X.
(e) Sim, é intuitivo que X seja independente de N.

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