Considere tentativas independentes, cada uma delas levando ao resultado
, com probabilidade
,
. Suponha que
represente o número de tentativas necessárias para que se obtenha um resultado diferente de 0 , e chame de
este resultado.
(a) Determine
.
(b) Determine
.
(c) Mostre que
(d) É intuitivo para você que
seja independente de
?
(e) É intuitivo para você que
seja independente de
?
(a) Determine
(b) Determine
(c) Mostre que
(d) É intuitivo para você que
(e) É intuitivo para você que
Passo 1
O enunciado diz que temos tentativas independentes cujo resultado em cada tentativa é um valor
com probabilidade
e
. Definimos
como o número de tentativas até obter o primeiro resultado diferente de
e chamamos esse resultado de
. O que precisamos é:
- A lei de
. - A lei de
. - Mostrar que
e são independentes. - Comentar se isso é intuitivo.
Passo 2
Para obter
é preciso fracassar (resultado
) nas
primeiras tentativas e ter sucesso (resultado
) na
-ésima. A probabilidade de fracasso é
e a de sucesso é
Logo
Passo 3
Para
com
, note que
é o valor da tentativa na qual ocorre o primeiro não-zero. Podemos usar que
e somar em
:
Passo 4
Já temos
e
Multiplicando as marginais:
Isso mostra a independência de
e
.
Passo 5
Intuitivamente, faz sentido que o número de tentativas até o primeiro sucesso (
) não “informe” qual valor não-zero apareceu (
), e vice-versa. O processo de repetir falhas até um sucesso não carrega informação sobre se esse sucesso será, por exemplo,
ou
.
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) .
(d) Sim, é intuitivo que seja independente de
.
(e) Sim, é intuitivo que seja independente de
.
(b)
(c)
(d) Sim, é intuitivo que
(e) Sim, é intuitivo que