Seja
um subconjunto não vazio de
tal que, se
, então
. Mostre que
é um ideal de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um subconjunto não vazio de inteiros A tal que, sempre que
, então
e
também estão em A. O objetivo é mostrar que A é um ideal de
. Para isso, vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: é um subgrupo aditivo fechado sob multiplicação por elementos do anel.
Passo 2
Primeiro vamos ver a parte aditiva. Como A é não vazio, existe algum
. Usando a hipótese com
, obtemos
. Então 0∈A. Em seguida, para qualquer
, como 0,a\in A, temos
. Logo A é fechado sob inverso aditivo. Também é dado que A é fechado sob soma. Portanto A é um subgrupo do grupo aditivo de
.
Passo 3
Agora tratamos a ação de multiplicação por inteiros. Queremos mostrar que, para todo
e todo
, vale
.
Passo 4
Para
inteiro, fazemos indução em n: base
é trivial, pois
. Suponha que
. Então, como
e
, pela hipótese de fechamento sob soma, temos
. Assim todo
com
está em A.
Passo 5
Para
já vimos
. Se
, escrevemos
com
. Então
. Mas
e A é fechado sob inversos aditivos, logo
. Assim mostramos
para todo
.
Passo 6
Como A é subgrupo aditivo de
e fechado sob multiplicação por qualquer inteiro, A satisfaz a definição de ideal de
. Portanto, A é um ideal em
.
Resposta
A é um ideal de
.