Seja A um subconjunto não vazio de Z tal que, se a1, a2 in A, então a1 pm a2 in A. Mostre que A é um ideal de Z.

Passo 1

O enunciado diz que temos um subconjunto não vazio de inteiros A tal que, sempre que a1,a2in A, então a1+a2 e a1-a2 também estão em A. O objetivo é mostrar que A é um ideal de Z. Para isso, vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: é um subgrupo aditivo fechado sob multiplicação por elementos do anel.

Passo 2

Primeiro vamos ver a parte aditiva. Como A é não vazio, existe algum ain A. Usando a hipótese com a1=a2=a, obtemos a-a=0in A. Então 0∈A. Em seguida, para qualquer ain A, como 0,a\in A, temos 0-a=-ain A. Logo A é fechado sob inverso aditivo. Também é dado que A é fechado sob soma. Portanto A é um subgrupo do grupo aditivo de Z.

Passo 3

Agora tratamos a ação de multiplicação por inteiros. Queremos mostrar que, para todo rinZ e todo ain A, vale r,ain A.

Passo 4

Para n>=1 inteiro, fazemos indução em n: base n=1 é trivial, pois 1,a=ain A. Suponha que (n-1)ain A. Então, como ain A e (n-1)ain A, pela hipótese de fechamento sob soma, temos (n-1)a + a = n a in A. Assim todo n a com n>=1 está em A.

Passo 5

Para n=0 já vimos 0,a=0in A. Se n<0, escrevemos n=-m com m>0. Então n a=- (m a). Mas m ain A e A é fechado sob inversos aditivos, logo -m ain A. Assim mostramos n ain A para todo ninZ.

Passo 6

Como A é subgrupo aditivo de Z e fechado sob multiplicação por qualquer inteiro, A satisfaz a definição de ideal de Z. Portanto, A é um ideal em Z.

Resposta

A é um ideal de Z.

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