Encontre lim h 0 f(x+h)-f(x)h quando:
f(x)=2 x^3-3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=2x^3-3x
usando a definição
limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo é a derivada de polinômio pelo quociente incremental, e vamos precisar expandir f(x+h) e simplificar.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(x+h)=2(x+h)^3-3(x+h)
Pelo binômio de Newton,
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3,
portanto
f(x+h)=2l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r)-3x-3h

Passo 3

Agora subtraímos f(x):
f(x+h)-f(x) =l[2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-3x-3hr]-l[2x^3-3xr] =6x^2h+6xh^2+2h^3-3h

Passo 4

Dividimos pelo incremento h:
f(x+h)-f(x)h =6x^2+6xh+2h^2-3

Passo 5

Tomamos o limite quando hto0: os termos com h e h^2 desaparecem, ficando
limhto0f(x+h)-f(x)h =6x^2-3

Resposta

limhto0f(x+h)-f(x)h=6x^2-3

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