Considere o teste H0: sigma^2=7 contra H1: sigma^2 neq 7. Quais são os valores críticos para a estatística de teste X0^2 para os seguintes níveis de significância e tamanhos de amostra?
a) alpha=0,01 e n=20
b) alpha=0,05 e n=12
c) alpha=0,10 e n=15

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores críticos para o teste de hipóteses sobre a variância, usando a estatística qui-quadrado ( X^2). O enunciado nos dá uma hipótese nula H0: sigma^2=7 e uma hipótese alternativa H1: sigma^2 neq 7. Isso significa que estamos fazendo um teste bicaudal para verificar se a variância é diferente de 7.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  1. Entender a distribuição qui-quadrado ( chi^2): Essa distribuição é usada principalmente para testes de variância.
  2. Conhecer os níveis de significância ( alpha) e os tamanhos das amostras ( n): Cada combinação de alpha e n vai nos dar diferentes graus de liberdade e, consequentemente, diferentes valores críticos.
  3. Calcular os graus de liberdade (df): Para testes de variância, df = n - 1.
Vamos por partes para achar os valores críticos em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um teste bicaudal, a gente divide o nível de significância igualmente entre as duas caudas da distribuição. Ou seja, para cada alpha, a gente tem alpha/2 na cauda esquerda e alpha/2 na cauda direita.
A fórmula da estatística de teste qui-quadrado é:
X0^2 = (n - 1)s^2sigma^2
Mas como estamos buscando os valores críticos, a gente usa as tabelas da distribuição qui-quadrado ou uma calculadora estatística para encontrar os valores que correspondem aos percentis desejados.

Passo 3

Vamos calcular os graus de liberdade para cada item:
a) Para n = 20: df = 20 - 1 = 19
b) Para n = 12: df = 12 - 1 = 11
c) Para n = 15: df = 15 - 1 = 14
Com os graus de liberdade em mãos, a gente usa uma tabela de chi^2 ou uma ferramenta online para encontrar os valores críticos correspondentes a cada alpha.

Passo 4

Vamos agora encontrar os valores críticos para cada caso:
a) alpha = 0,01 e n = 20 ( df = 19):
Como é um teste bicaudal, cada cauda terá 0,005 de significância.
Usando a tabela de chi^2:
  • Valor crítico inferior para 0,005: Aproximadamente 6,844
  • Valor crítico superior para 0,995: Aproximadamente 36,191
b) alpha = 0,05 e n = 12 ( df = 11):
Cada cauda terá 0,025 de significância.
  • Valor crítico inferior para 0,025: Aproximadamente 3,816
  • Valor crítico superior para 0,975: Aproximadamente 21,920
c) alpha = 0,10 e n = 15 ( df = 14):
Cada cauda terá 0,05 de significância.
  • Valor crítico inferior para 0,05: Aproximadamente 5,629
  • Valor crítico superior para 0,95: Aproximadamente 23,685

Resposta

Os valores críticos para a estatística de teste X0^2 são:
a) Para alpha = 0,01 e n = 20: 6,844 e 36,191.
b) Para alpha = 0,05 e n = 12: 3,816 e 21,920.
c) Para alpha = 0,10 e n = 15: 5,629 e 23,685.

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