Suponha que 500 peças sejam testadas na fabricação e 10 sejam rejeitadas.
a) Teste a hipótese H0: p=0,03 contra H1: p<0,03, com alpha=0,05. Encontre o valor P.
b) Explique como a questão do item a poderia ser respondida pela construção de um intervalo unilateral de confiança de 95% para p.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 500 peças testadas na fabricação e 10 foram rejeitadas. A matéria que vamos usar é teste de hipóteses para proporções. Para resolver, vamos precisar entender como formular as hipóteses, calcular a estatística de teste e encontrar o valor P.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção amostral. A proporção de peças rejeitadas na amostra é:
p = 10500 = 0,02

Passo 3

Agora, formulamos as hipóteses. A hipótese nula é que a proporção de rejeição é 3%, ou seja, . A hipótese alternativa é que a proporção é menor que 3%, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,03 times 0,97500 approx 0,006 é:

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor z da estatística de teste usando a fórmula:
z = p - p0SE = 0,02 - 0,030,006 approx -1,6667

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor P, que é a probabilidade de obter um resultado igual ou mais extremo que o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Como nosso teste é unilateral à esquerda, procuramos a área à esquerda de P approx 0,0478 .
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos:

Passo 7

Vamos entender a segunda parte do exercício. A gente precisa explicar como usar um intervalo unilateral de confiança de 95% para resolver a questão do item a. Isso envolve construir o intervalo e verificar se a hipótese nula está dentro ou fora desse intervalo.

Passo 8

Para construir um intervalo unilateral de confiança à esquerda de 95%, usamos a fórmula:
IC = p - zalpha times SE
Onde é o valor crítico para 95% de confiança (que para unilateral à esquerda é 1,645) e é o erro padrão calculado anteriormente.

Passo 9

Calculando o intervalo:
IC = 0,02 - 1,645 times 0,006 approx 0,02 - 0,00987 = 0,01013
Então, o limite inferior do intervalo é aproximadamente 1,013%.

Passo 10

Agora, comparamos a proporção hipotética com o limite do intervalo. Como 3% é maior que 1,013%, ele está fora do intervalo de confiança.

Passo 11

Isso significa que, com 95% de confiança, a proporção verdadeira de rejeição é menor que 3%, corroborando a rejeição da hipótese nula .

Resposta

A questão do item a pode ser resolvida construindo um intervalo unilateral de confiança de 95% para . Como o valor está fora desse intervalo, rejeitamos , chegando à mesma conclusão que no teste de hipótese.

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