Suponha que 500 peças sejam testadas na fabricação e 10 sejam rejeitadas.
a) Teste a hipótese
contra
, com
. Encontre o valor
.
b) Explique como a questão do item a poderia ser respondida pela construção de um intervalo unilateral de confiança de 95% para p.
a) Teste a hipótese
b) Explique como a questão do item a poderia ser respondida pela construção de um intervalo unilateral de confiança de 95% para p.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 500 peças testadas na fabricação e 10 foram rejeitadas. A matéria que vamos usar é teste de hipóteses para proporções. Para resolver, vamos precisar entender como formular as hipóteses, calcular a estatística de teste e encontrar o valor P.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a proporção amostral. A proporção de peças rejeitadas na amostra é:
Passo 3
Agora, formulamos as hipóteses. A hipótese nula
é que a proporção de rejeição é 3%, ou seja,
. A hipótese alternativa
é que a proporção é menor que 3%, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. A fórmula para o erro padrão
é:
Passo 5
Em seguida, calculamos o valor z da estatística de teste usando a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor P, que é a probabilidade de obter um resultado igual ou mais extremo que o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Como nosso teste é unilateral à esquerda, procuramos a área à esquerda de
.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 7
Vamos entender a segunda parte do exercício. A gente precisa explicar como usar um intervalo unilateral de confiança de 95% para resolver a questão do item a. Isso envolve construir o intervalo e verificar se a hipótese nula está dentro ou fora desse intervalo.
Passo 8
Para construir um intervalo unilateral de confiança à esquerda de 95%, usamos a fórmula:
Onde
é o valor crítico para 95% de confiança (que para unilateral à esquerda é 1,645) e
é o erro padrão calculado anteriormente.
Passo 9
Calculando o intervalo:
Então, o limite inferior do intervalo é aproximadamente 1,013%.
Passo 10
Agora, comparamos a proporção hipotética
com o limite do intervalo. Como 3% é maior que 1,013%, ele está fora do intervalo de confiança.
Passo 11
Isso significa que, com 95% de confiança, a proporção verdadeira de rejeição é menor que 3%, corroborando a rejeição da hipótese nula
.
Resposta
A questão do item a pode ser resolvida construindo um intervalo unilateral de confiança de 95% para
. Como o valor
está fora desse intervalo, rejeitamos
, chegando à mesma conclusão que no teste de hipótese.