Considere um tetraedro de base e vértice (1,2,1), A D=(3,-3,1). Calcule:
a) O volume V do tetraedro.
b) A área A da base A B C.
c) O comprimento hD da altura relativa ao vértice D.
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro ABCD com vértice D e base ABC. Estamos com os vetores ao longo dos arestas que partem de A:
AB=(1,-1,-1), AC=(1,2,1), AD=(3,-3,1)
Para resolver precisamos de 1. produto vetorial para achar a área da base; 2. produto misto para achar o volume do tetraedro; 3. relação entre volume, área da base e altura para achar hD.
Passo 2
Vamos calcular o produto vetorial ABtimesAC. Por definição,
ABtimesAC =det i&j&k 1&-1&-1 1&2&1 =(1,-2,3)
Em seguida a norma desse vetor é
l|ABtimesACr| =raiz1^2+(-2)^2+3^2 =raiz14
Passo 3
A área A do triângulo ABC (base do tetraedro) é metade da área do paralelogramo gerado por AB e AC. Logo,
A = tfrac12,l|ABtimesACr| = tfrac12,raiz14
Passo 4
O volume V do tetraedro é 1/6 do valor absoluto do produto misto (ABtimesAC)cdotAD. Calculamos primeiro o produto misto: