Considere um tetraedro A B C D de base A B C e vértice D com A B=(1,-1,-1), A C= (1,2,1), A D=(3,-3,1). Calcule:
a) O volume V do tetraedro.
b) A área A da base A B C.
c) O comprimento hD da altura relativa ao vértice D.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro ABCD com vértice D e base ABC. Estamos com os vetores ao longo dos arestas que partem de A:
AB=(1,-1,-1), AC=(1,2,1), AD=(3,-3,1)
Para resolver precisamos de
1. produto vetorial para achar a área da base;
2. produto misto para achar o volume do tetraedro;
3. relação entre volume, área da base e altura para achar hD.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial ABtimesAC. Por definição,
ABtimesAC =det i&j&k 1&-1&-1 1&2&1 =(1,-2,3)
Em seguida a norma desse vetor é
l|ABtimesACr| =raiz1^2+(-2)^2+3^2 =raiz14

Passo 3

A área A do triângulo ABC (base do tetraedro) é metade da área do paralelogramo gerado por AB e AC. Logo,
A = tfrac12,l|ABtimesACr| = tfrac12,raiz14

Passo 4

O volume V do tetraedro é 1/6 do valor absoluto do produto misto (ABtimesAC)cdotAD. Calculamos primeiro o produto misto:
(ABtimesAC)cdotAD =(1,-2,3)cdot(3,-3,1) =1cdot3 + (-2)cdot(-3) + 3cdot1 =12
Logo o volume é
V = |12|6 = 2

Passo 5

Sabendo que V = tfrac13,A,hD, isolamos a altura hD:
hD = 3VA = 3cdot 2tfrac12,raiz14 = 6tfrac12raiz14 = 12raiz14 = 6raiz147

Resposta

a) V = 2\nb) A = tfrac12raiz14\nc) hD = tfrac12raiz14 = tfrac6raiz147

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