Considere os vetores unitários u, v, w que formam, dois a dois, ângulos de 60^circ e a base B=(u, v, w) orientada positivamente. Prove que [u, v, w]=raiz22.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores unitários u,v,w tais que, para quaisquer dois deles, o ângulo entre eles vale 60^circ. A base B=(u,v,w) é orientada positivamente. Precisamos calcular o produto misto [u,v,w], que geométricamente é o volume assinado do paralelepípedo formado por u,v,w.

Passo 2

Usamos a identidade que relaciona o quadrado do produto misto ao determinante da matriz de Gram dos vetores:
[u,v,w]^2 =detl(llang<=ui,ujrrang<=r)i,j
onde a matriz de Gram G tem entradas Gij=lang<=ui,ujrang<=.

Passo 3

Como |u|=|v|=|w|=1 e todos os ângulos pares são 60^circ, temos lang<=u,vrang<==lang<=u,wrang<==lang<=v,wrang<==cos60^circ=tfrac12. Portanto a matriz de Gram é
G = 1 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 1 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 1

Passo 4

Para calcular det(G) usamos a fórmula para matriz com diagonal a=1 e off-diagonal b=tfrac12:
det(G)=(a-b)^2(a+2b) =(1-tfrac12)^2l(1+2cdottfrac12r) =l(tfrac12r)^2cdot2 =tfrac12
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[u,v,w]^2=tfrac12

Passo 5

Como a base B é orientada positivamente, escolhemos a raiz positiva:
[u,v,w] =raiztfrac12 =raiz22

Resposta

[u,v,w]=raiz22

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