Considere os vetores unitários que formam, dois a dois, ângulos de e a base orientada positivamente. Prove que .
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores unitários tais que, para quaisquer dois deles, o ângulo entre eles vale . A base é orientada positivamente. Precisamos calcular o produto misto , que geométricamente é o volume assinado do paralelepípedo formado por .
Passo 2
Usamos a identidade que relaciona o quadrado do produto misto ao determinante da matriz de Gram dos vetores:
onde a matriz de Gram tem entradas .
Passo 3
Como e todos os ângulos pares são , temos . Portanto a matriz de Gram é
Passo 4
Para calcular det(G) usamos a fórmula para matriz com diagonal a=1 e off-diagonal b=tfrac12: