Escalone, classifique e resolva os sistemas:
x+y-z+t & =1 3 x-y-2 z+t & =2 -x-2 y+3 z+2 t & =-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com quatro variáveis: x, y, z e t. O objetivo é escalonar, classificar e resolver esse sistema. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Assim, fica:
1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 3 & -1 & -2 & 1 & | & 2 -1 & -2 & 3 & 2 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos começar a escalonar a matriz. O primeiro passo é usar a primeira linha para eliminar o x das outras linhas. Para isso:
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 3R1
  • Adicione a primeira linha à terceira linha:
R3 = R3 + R1
Isso resulta em:
1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & -4 & 1 & -2 & | & -1 0 & -1 & 2 & 3 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o y da terceira linha. Primeiro, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -4:
R2 = R2-4
Fica:
1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -0.25 & 0.5 & | & 0.25 0 & -1 & 2 & 3 & | & 0
Agora, some a segunda linha com a terceira para eliminar o y:
R3 = R3 + R2
Resultado:
1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -0.25 & 0.5 & | & 0.25 0 & 0 & 1.75 & 3.5 & | & 0.25

Passo 5

Agora, podemos resolver as variáveis de cima para baixo. Vamos começar pela terceira linha, que agora tem apenas z e t:
1.75z + 3.5t = 0.25
Para facilitar, vamos dividir essa equação por 1.75:
z + 2t = 0.251.75 approx 0.1429
Então, expressamos z em função de t:
z = 0.1429 - 2t

Passo 6

Agora, vamos para a segunda linha:
y - 0.25z + 0.5t = 0.25
Substituindo z por 0.1429 - 2t:
y - 0.25(0.1429 - 2t) + 0.5t = 0.25
y - 0.0357 + 0.5t + 0.5t = 0.25
y + t = 0.2857
Então, expressamos y:
y = 0.2857 - t

Passo 7

Por fim, vamos para a primeira linha:
x + y - z + t = 1
Substituindo y e z:
x + (0.2857 - t) - (0.1429 - 2t) + t = 1
x + 0.2857 - t - 0.1429 + 2t + t = 1
x + (0.2857 - 0.1429) + ( -t + 2t + t ) = 1
x + 0.1428 + 2t = 1
x = 1 - 0.1428 - 2t
x = 0.8572 - 2t

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos expressões das variáveis em função de [t):
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, pois (t] pode ser qualquer número real.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, dadas por:
x = 0.8572 - 2t y = 0.2857 - t z = 0.1429 - 2t t é livre é
Onde t pode ser qualquer número real.

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