Dados a=(4,3,2), b=(1,0,-2), encontre d=(x, y, z) ortogonal a c=(3,-4,2) tal que d wed>= a=b.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec d=(x,y,z) que satisfaça duas condições:
  1. Seja ortogonal a vec c=(3,-4,2), ou seja, vec dcdotvec c=0.
  2. O produto vetorial vec dwed>=vec a com vec a=(4,3,2) deve ser vec b=(1,0,-2).
Para resolver, vamos escrever vec dcdotvec c=0 e a expressão de vec dwed>=vec a em coordenadas e montar um sistema para x,y,z.

Passo 2

Escrevendo as condições em coordenadas:
vec dwed>=vec a =l(ycdot2 - zcdot3,;zcdot4 - xcdot2,;xcdot3 - ycdot4r) stackrel!= (1,0,-2),
isto gera o sistema
2y - 3z = 1, 4z - 2x = 0, 3x - 4y = -2,
e a ortogonalidade
vec dcdotvec c = 3x - 4y + 2z = 0

Passo 3

Da segunda equação do produto vetorial temos
4z - 2x = 0Longrightarrow x = 2z
Da primeira equação obtemos
2y - 3z = 1Longrightarrow y = 1+3z2
A terceira equação 3x-4y=-2 verifica-se automaticamente ao usar estas duas, logo não dá nova restrição.

Passo 4

Agora impomos a ortogonalidade ;3x - 4y + 2z = 0. Substituindo x=2z e y=(1+3z)/2 obtemos
3(2z);-;4l(1+3z2r);+;2z ;=;0 Longrightarrow 6z -2(1+3z)+2z = 0 Longrightarrow 2z -2 = 0 Longrightarrow z = 1
Então
x = 2z = 2, y = 1+3z2 = 1+32=2

Resposta

vec d = (2,,2,,1)

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