Considere o tetraedro A B C D em que A=(-3,-2,1), D=(-2,-4,2), A B=(4,3,1), C A=(4,3,0).
Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de A e D (embora D não seja necessário para a área de ABC), os vetores AB e CA. Queremos a área do triângulo ABC. Em geometria vetorial 3D, a área de um triângulo cujos lados são dados pelos vetores u e v é
12|utimesv|
Portanto, vamos usar o produto vetorial entre AB e AC.

Passo 2

Calcular as coordenadas de B e C a partir de A. Como AB=(4,3,1) e A=(-3,-2,1), temos
B=A+AB=(-3,-2,1)+(4,3,1)=(1,1,2)
Como CA=(4,3,0) é o vetor de C para A, então A=C+CA, logo
C=A-CA=(-3,-2,1)-(4,3,0)=(-7,-5,1)

Passo 3

Determinar explicitamente o vetor AC. Usando as coordenadas,
AC=C-A=(-7,-5,1)-(-3,-2,1)=(-4,-3,0)
Note que AB=(4,3,1) já está dado.

Passo 4

Calcular o produto vetorial ABtimesAC. Usando a fórmula determinantal,
ABtimesAC = i&j&k 4&3&1 -4&-3&0 =(3cdot0-1cdot(-3),,-l(4cdot0-1cdot(-4)r),,4cdot(-3)-3cdot(-4)) =(3,,-4,,0)

Passo 5

Calcular a norma do vetor resultante e a área. A norma é
|ABtimesAC|=raiz3^2+(-4)^2+0^2=5
Portanto, a área de ABC é
Área=tfrac12|ABtimesAC|=tfrac12cdot5=tfrac52 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é tfrac52.

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