Considere o texto a seguir.
“A divisão celular binária ocorre quando uma bactéria duplica o seu material genético e logo em seguida se divide, originando duas bactérias idênticas a ela. Uma bactéria, quando em condições ideais de temperatura e nutrientes, leva aproximadamente vinte minutos para completar todo o processo de divisão.”
Uma cultura com 30 bactérias foi iniciada às 7 horas de certo dia em condições ideais de temperatura e nutrientes.
Utilizando a aproximação 2^{10} \cong 10^{3}, a quantidade de bactérias dessa cultura às 19 horas desse dia era de aproximadamente:
(A) 2 bilhões;
(B) 20 bilhões;
(CD)200 bilhões;
(D) 2 trilhões;
(E) 20 trilhões.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa da quantidade final de bactérias às 19 horas:
  • População inicial: 30 bactérias às 7 horas.
  • Tempo de divisão (duplicação) de cada bactéria: 20 minutos (cada bactéria vira duas a cada 20 minutos).
  • Condições ideais mantidas entre 7 e 19 horas.
  • Aproximação fornecida: 2^{10} \cong 10^{3}.
    A pergunta é: qual é a quantidade aproximada de bactérias às 19 horas daquele dia, dentre as alternativas dadas?

Passo 2

Modelo matemático da duplicação (explicação didática): quando cada unidade se duplica k vezes, a população final N é o produto da população inicial N_0 por 2^k, porque a cada duplicação você multiplica por 2. Assim:
N = N_{0}\,2^{k}
onde N_{0} é a contagem inicial (aqui N_{0}=30) e k é o número total de duplicações ocorridas no intervalo de tempo considerado. Essa é a fórmula básica de crescimento por duplicação (crescimento exponencial discreto).

Passo 3

Calcular o número total de duplicações k no intervalo de 7h até 19h:
  • Duração total em horas: 19-7 = 12 horas.
  • Converter para minutos: 12 horas =12\cdot 60=720 minutos.
  • Cada duplicação ocorre a cada 20 minutos, então
k=\frac{720}{20}=36.
Logo ocorreram 36 duplicações.

Passo 4

Agora escrevemos a expressão da população às 19h usando a fórmula do Passo 2:
N = 30\cdot 2^{36}.
Para estimar numericamente vamos simplificar 2^{36} usando a aproximação dada. Uma forma prática é separar potências:
2^{36}=2^{30}\cdot 2^{6}.

Passo 5

Aplicar a aproximação 2^{10}\cong 10^{3} para calcular 2^{30}:
2^{30}=(2^{10})^{3}\cong (10^{3})^{3}=10^{9}.
Calcular 2^{6} exatamente (é pequeno e exato):
2^{6}=64.
Portanto
2^{36}\cong 2^{30}\cdot 2^{6}\cong 10^{9}\cdot 64=64\cdot 10^{9}.

Passo 6

Multiplicar pela população inicial 30:
N \cong 30\cdot (64\cdot 10^{9}) = (30\cdot 64)\cdot 10^{9}.
Calcule 30\cdot 64: 30\cdot 60=1800 e 30\cdot 4=120, somando dá 1920. Então
N \cong 1920\cdot 10^{9}.
Escrever em notação científica:
1920\cdot 10^{9}=1{,}92\cdot 10^{3}\cdot 10^{9}=1{,}92\cdot 10^{12}.
Esse número é 1{,}92 trilhões (pois 10^{12} corresponde a um trilhão).

Passo 7

Interpretação em relação às alternativas: 1{,}92\cdot 10^{12} é aproximadamente 2 trilhões, que corresponde à alternativa (D). Um entendimento rápido: usamos 2^{10}\approx 10^{3} para transformar potências de 2 em potências de 10 e facilitar a leitura da ordem de grandeza.

Resposta

(D) 2 trilhões

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