Considere o texto a seguir.
“A divisão celular binária ocorre quando uma bactéria duplica o seu material genético e logo em seguida se divide, originando duas bactérias idênticas a ela. Uma bactéria, quando em condições ideais de temperatura e nutrientes, leva aproximadamente vinte minutos para completar todo o processo de divisão.”
Uma cultura com 30 bactérias foi iniciada às 7 horas de certo dia em condições ideais de temperatura e nutrientes.
Utilizando a aproximação
, a quantidade de bactérias dessa cultura às 19 horas desse dia era de aproximadamente:
(A) 2 bilhões;
(B) 20 bilhões;
(CD)200 bilhões;
(D) 2 trilhões;
(E) 20 trilhões.
“A divisão celular binária ocorre quando uma bactéria duplica o seu material genético e logo em seguida se divide, originando duas bactérias idênticas a ela. Uma bactéria, quando em condições ideais de temperatura e nutrientes, leva aproximadamente vinte minutos para completar todo o processo de divisão.”
Uma cultura com 30 bactérias foi iniciada às 7 horas de certo dia em condições ideais de temperatura e nutrientes.
Utilizando a aproximação
(A) 2 bilhões;
(B) 20 bilhões;
(CD)200 bilhões;
(D) 2 trilhões;
(E) 20 trilhões.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa da quantidade final de bactérias às
horas:
- População inicial:
bactérias às horas. - Tempo de divisão (duplicação) de cada bactéria:
minutos (cada bactéria vira duas a cada minutos). - Condições ideais mantidas entre
e horas. - Aproximação fornecida:
.
A pergunta é: qual é a quantidade aproximada de bactérias àshoras daquele dia, dentre as alternativas dadas?
Passo 2
Modelo matemático da duplicação (explicação didática): quando cada unidade se duplica
vezes, a população final
é o produto da população inicial
por
, porque a cada duplicação você multiplica por
. Assim:
onde
é a contagem inicial (aqui
) e
é o número total de duplicações ocorridas no intervalo de tempo considerado. Essa é a fórmula básica de crescimento por duplicação (crescimento exponencial discreto).
Passo 3
Calcular o número total de duplicações
no intervalo de
h até
h:
- Duração total em horas:
horas. - Converter para minutos:
horas minutos. - Cada duplicação ocorre a cada
minutos, então
Logo ocorreram
duplicações.
Passo 4
Agora escrevemos a expressão da população às
h usando a fórmula do Passo 2:
Para estimar numericamente vamos simplificar
usando a aproximação dada. Uma forma prática é separar potências:
Passo 5
Aplicar a aproximação
para calcular
:
Calcular
exatamente (é pequeno e exato):
Portanto
Passo 6
Multiplicar pela população inicial
:
Calcule
:
e
, somando dá
. Então
Escrever em notação científica:
Esse número é
trilhões (pois
corresponde a um trilhão).
Passo 7
Interpretação em relação às alternativas:
é aproximadamente
trilhões, que corresponde à alternativa (D). Um entendimento rápido: usamos
para transformar potências de
em potências de
e facilitar a leitura da ordem de grandeza.
Resposta
(D)
trilhões