Considere \theta \mathbb{R}^{2} com as operações definidas para quaisquer \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} e \alpha \in \mathbb{R} por:
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}, y_{1}\right) \\\ \alpha\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\alpha x_{1}, y_{1}\right) \end{gathered}
(1,0 ponto) A operação de adição definida acima satisfaz o axioma da comutatividade?

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a adição
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1},y_{1})
e pergunta se essa operação satisfaz o axioma da comutatividade, isto é, se vale sempre
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{2},y_{2}) + (x_{1},y_{1}).

Passo 2

Tomemos dois vetores genéricos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}). Pela definição:
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1},y_{1}),
enquanto trocando a ordem obtemos
(x_{2},y_{2}) + (x_{1},y_{1}) = (x_{2},y_{2}).

Passo 3

Para que a adição fosse comutativa precisaríamos ter
(x_{1},y_{1}) = (x_{2},y_{2})
para todo par de vetores, o que não ocorre em geral.

Resposta

Não. A operação de adição definida não satisfaz o axioma da comutatividade, pois em geral
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1},y_{1}) \neq (x_{2},y_{2}) = (x_{2},y_{2}) + (x_{1},y_{1}).

Exercícios relacionados