Questão 3. Usando escalonamento de matrizes podemos afirmar que o sistema
\left\{\begin{array}{rrrlr} x-3 y- & 17 z & = & 16 \\\\ 2 x-7 y- & 38 z & = & 37 \\\\ 3 x-11 y+ & \left(a^{2}-a-65\right) z & = & a+55 . \end{array}\right.
a Não tem solução se a=3, tem solução única se a \notin\{-2,3\} e tem infinitas soluções se a=-2.
b Não tem solução se a=3, tem solução única se a \notin\{-4,3\} e tem infinitas soluções se a=-4.
(c) Não tem solução se a=-4, tem solução única se a \notin\{-4,3\} e tem infinitas soluções se a=3.
d Não tem solução se a=-3, tem solução única se a \notin\{-2,1\} e tem infinitas soluções se a=1.
e Não tem solução se a=-2, tem solução única se a \notin\{-2,3\} e tem infinitas soluções se a=3.
(f) Não tem solução se a=1, tem solução única se a \notin\{-2,1\} e tem infinitas soluções se a=-2.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x - 3y - 17z = 16,\\\\ 2x - 7y - 38z = 37,\\\\ 3x - 11y + \bigl(a^{2}-a-65\bigr)\,z = a + 55, \end{cases}
e pede para usar escalonamento (eliminação de Gauss) para determinar para quais valores de a o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções.

Passo 2

Usamos a primeira equação para eliminar x das outras duas:
– Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2:
2x-7y-38z - 2(x-3y-17z) = 37 - 2\cdot16 \;\Longrightarrow\; -y -4z = 5 \;\Longrightarrow\; y +4z = -5.
– Subtraindo 3 vezes a linha 1 da linha 3:
3x-11y+(a^2-a-65)z -3(x-3y-17z) = (a+55)-3\cdot16 \;\Longrightarrow\; -2y + (a^2 - a -14)\,z = a+7.
Assim o sistema reduzido em y,z é
\begin{cases} y + 4z = -5,\\\\ -2y + (a^2 - a -14)\,z = a+7. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
y = -5 - 4z.
Substituindo na segunda:
-2(-5-4z) + (a^2 - a -14)\,z = a+7 \;\Longrightarrow\; 10 + 8z + (a^2 - a -14)\,z = a+7 \;\Longrightarrow\; (a^2 - a -6)\,z = a - 3.
Como a^2 - a -6 = (a-3)(a+2), temos
(a-3)(a+2)\,z = a-3.

Passo 4

Analisando (a-3)(a+2)\,z = a-3:
  • Se a \neq 3 e a \neq -2, o coeficiente (a-3)(a+2)\neq0, então
z = \frac{a-3}{(a-3)(a+2)} = \frac1{a+2},
e dali vêm y e x unicamente. Logo há solução única.
  • Se a = 3, o lado esquerdo é 0\cdot z e o direito é 3 - 3 = 0, ou seja 0=0. Isso deixa z livre, gera infinitas soluções (com y e x em função de z).
  • Se a = -2, o lado esquerdo é 0\cdot z e o direito é -2 - 3 = -5, isto é 0 = -5, impossível. Logo não há solução.

Resposta

e. Não tem solução se a=-2, tem solução única se a\notin\{-2,3\} e tem infinitas soluções se a=3.

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