Considere em todos estes exercícios E=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) uma base ortonormal dextrógira.
Dados \vec{u}=2 \cdot \vec{\imath}, \vec{v}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} e \vec{w}=-2 \cdot \vec{\imath}+6 \cdot \vec{\jmath}+6 \cdot \vec{\k}, escrever, se possível, \vec{w} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever \vec{w} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Isso significa achar escalares a e b tais que
\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}.
O conteúdo aqui é decomposição de vetor em base (ou subconjunto de vetores), usando igualdade de componentes em uma base ortonormal.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas dos vetores na base canônica (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}):
\vec{u} = (2,0,0),\quad \vec{v} = (1,1,1),\quad \vec{w} = (-2,6,6).
A combinação linear a\,\vec{u} + b\,\vec{v} terá coordenadas
a\,(2,0,0) + b\,(1,1,1) = (2a + b,\; b,\; b).

Passo 3

Igualamos componente a componente com \vec{w}=(-2,6,6):
2a + b = -2,
b = 6,
b = 6.
Das duas últimas, já temos b = 6. Substituindo na primeira:
2a + 6 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 2a = -8 \quad\Longrightarrow\quad a = -4.

Passo 4

Com a=-4 e b=6, concluímos que
\vec{w} = -4\,\vec{u} + 6\,\vec{v}.

Resposta

\displaystyle \vec{w} = -4\,\vec{u} + 6\,\vec{v}.

Exercícios relacionados