Considere em todos estes exercícios E=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) uma base ortonormal dextrógira.
Dados \vec{u}=(2,0,0)_{E}, \vec{v}=(1,1,1)_{E} e \vec{w}=(-2,6,2)_{E}, escrever, se possível, \vec{w} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá em uma base ortonormal dextrógira E=(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) os vetores
\vec u=(2,0,0)_E, \vec v=(1,1,1)_E e \vec w=(-2,6,2)_E.
Queremos ver se existe escalares \alpha e \beta tais que
\vec w = \alpha\,\vec u + \beta\,\vec v.
O conteúdo aqui é testar se \vec w pertence ao span \{\vec u,\vec v\}, montando e resolvendo o sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação
\alpha\,\vec u + \beta\,\vec v = \alpha\,(2,0,0) + \beta\,(1,1,1) = (2\alpha+\beta,\;\beta,\;\beta).

Passo 3

Para igualar ao vetor \vec w=(-2,6,2), montamos o sistema de equações pelas coordenadas:
\begin{cases} 2\alpha + \beta = -2,\\\ \beta = 6,\\\ \beta = 2. \end{cases}

Passo 4

Das equações \beta=6 e \beta=2 vemos que \beta teria de assumir dois valores diferentes ao mesmo tempo, o que é impossível. Logo, não há solução para \alpha e \beta.

Resposta

Não é possível escrever \vec w como combinação linear de \vec u e \vec v.

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