Considere em todos estes exercícios E=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) uma base ortonormal dextrógira.
Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos: \vec{u}=a \cdot \vec{\imath}-3 \cdot \vec{\jmath}, \vec{v}=a \cdot \vec{\jmath}+\vec{k} e \vec{w}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}
Passo 1
O enunciado pede o valor de a que faz os vetores \vec{u}=a\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}, \vec{v}=a\,\vec{\jmath}+\vec{k} e \vec{w}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}
serem coplanares. O conteúdo usado é que três vetores são coplanares se e só se o produto misto (determinante das componentes) for zero.
Passo 2
Escrevendo as componentes na base (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}), temos \vec{u}=(a,\,-3,\,0), \vec{v}=(0,\,a,\,1), \vec{w}=(1,\,1,\,1).
Passo 3
O produto misto é o determinante
\det\begin{pmatrix} a & -3 & 0\\\\ 0 & a & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e deve ser igual a zero.
Passo 4
Expandindo o determinante por cofactor na primeira linha: