Considere em todos estes exercícios E=(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}) uma base ortonormal dextrógira.
Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:
\vec{u}=a \cdot \vec{\imath}-3 \cdot \vec{\jmath}, \vec{v}=a \cdot \vec{\jmath}+\vec{k} e \vec{w}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o valor de a que faz os vetores
\vec{u}=a\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath},
\vec{v}=a\,\vec{\jmath}+\vec{k} e
\vec{w}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}
serem coplanares. O conteúdo usado é que três vetores são coplanares se e só se o produto misto (determinante das componentes) for zero.

Passo 2

Escrevendo as componentes na base (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}), temos
\vec{u}=(a,\,-3,\,0),
\vec{v}=(0,\,a,\,1),
\vec{w}=(1,\,1,\,1).

Passo 3

O produto misto é o determinante
\det\begin{pmatrix} a & -3 & 0\\\\ 0 & a & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e deve ser igual a zero.

Passo 4

Expandindo o determinante por cofactor na primeira linha:
\begin{aligned} \det &= a\cdot\det\begin{pmatrix}a&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots)\\[6pt] &=a\,(a\cdot1-1\cdot1)+3\,(0\cdot1-1\cdot1)\\\ &=a\,(a-1)-3. \end{aligned}
Assim o produto misto vale a^2 - a - 3.]

Passo 5

Para coplanaridade impomos
a^2 - a - 3 = 0.
Resolvendo a equação de segundo grau:
a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}.

Resposta

a = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \quad\text{ou}\quad a = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}.

Exercícios relacionados