Determine e responda a pergunta (justifique a sua resposta):
(a) ( 1,0 ponto) O posto de M. Um sistema linear onde M é a matriz ampliada tem solução?
(b) ( 1,0 ponto) B+3 B^{-1}. B é a transposta de A ?
(c) ( 1,0 ponto) \frac{1}{3} A+A^{-1}. A é uma matriz triangular inferior?
(d) \left(1,0\right. ponto) (A B)^{-1} \cdot(A B)^{-1} é uma matriz simétrica?
Passo 1
O enunciado pede quatro cálculos envolvendo matrizes: o posto de M e se um sistema com M como matriz ampliada tem solução; o valor de B+3B^{-1} e se B=A^T; o valor de \tfrac13A+A^{-1} e se A é triangular inferior; e por fim se (AB)^{-1}(AB)^{-1} é simétrica. Vamos usar técnica de eliminação de Gauss para o posto, cálculo de inversa por sistema linear para A^{-1} e B^{-1}, e propriedades de transposta, triangularidade e simetria.
aplicamos eliminação de Gauss. Após zerarmos abaixo de 1 na primeira coluna e depois abaixo do pivô 5 na segunda, obtemos uma linha nula. Logo
\mathrm{rank}(M)=3.
Se interpretarmos M como matriz ampliada de um sistema com 3 incógnitas (colunas 1–3) e termos independentes (coluna 4), o posto da matriz de coeficientes é também 3, igual ao posto da ampliada e ao número de incógnitas, logo há solução única.
E como vimos, A é triangular superior, não inferior.
Passo 5
Como B=A^T, temos
AB=A\,A^T
que é simétrica e invertível. Então (AB)^{-1} é simétrica, e o produto
(AB)^{-1}(AB)^{-1}
sendo potência de matriz simétrica, permanece simétrico.
Resposta
(a) \mathrm{rank}(M)=3. O sistema tem solução única, pois posto da ampliada = posto da de coeficientes =3.
(b) B+3B^{-1}=4I_3. Sim, B=A^T.
(c) \tfrac13A+A^{-1}=\tfrac43I_3. Não, A é triangular superior.
(d) Sim, (AB)^{-1}(AB)^{-1} é matriz simétrica.