Dadas as Marizes M=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -2 & -3 & 4 \\\\ 2 & 1 & -1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 2 & 2 \\\\ 5 & 1 & -2 & 9\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right].
Determine e responda a pergunta (justifique a sua resposta):
(a) ( 1,0 ponto) O posto de M. Um sistema linear onde M é a matriz ampliada tem solução?
(b) ( 1,0 ponto) B+3 B^{-1}. B é a transposta de A ?
(c) ( 1,0 ponto) \frac{1}{3} A+A^{-1}. A é uma matriz triangular inferior?
(d) \left(1,0\right. ponto) (A B)^{-1} \cdot(A B)^{-1} é uma matriz simétrica?

Passo 1

O enunciado pede quatro cálculos envolvendo matrizes: o posto de M e se um sistema com M como matriz ampliada tem solução; o valor de B+3B^{-1} e se B=A^T; o valor de \tfrac13A+A^{-1} e se A é triangular inferior; e por fim se (AB)^{-1}(AB)^{-1} é simétrica. Vamos usar técnica de eliminação de Gauss para o posto, cálculo de inversa por sistema linear para A^{-1} e B^{-1}, e propriedades de transposta, triangularidade e simetria.

Passo 2

Para achar o posto de
M=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 4\\\\ 2 & 1 & -1 & 3\\\\ 2 & 2 & 2 & 2\\\\ 5 & 1 & -2 & 9 \end{pmatrix}
aplicamos eliminação de Gauss. Após zerarmos abaixo de 1 na primeira coluna e depois abaixo do pivô 5 na segunda, obtemos uma linha nula. Logo
\mathrm{rank}(M)=3.
Se interpretarmos M como matriz ampliada de um sistema com 3 incógnitas (colunas 1 3) e termos independentes (coluna 4), o posto da matriz de coeficientes é também 3, igual ao posto da ampliada e ao número de incógnitas, logo há solução única.

Passo 3

A matriz
B=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&3&0\\\ 1&1&1\end{pmatrix}
é triangular inferior com diagonal (1,3,1), invertível. Calculando B^{-1} por BX=I obtemos
B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac23 & \tfrac13 & 0\\\\ -\tfrac13 & -\tfrac13 & 1 \end{pmatrix}.
Então
3B^{-1}=\begin{pmatrix} 3&0&0\\\\ -2&1&0\\\\ -1&-1&3 \end{pmatrix}, \quad B+3B^{-1}=\begin{pmatrix} 4&0&0\\\\ 0&4&0\\\\ 0&0&4 \end{pmatrix}=4I_3.
Comparando B com A^T, note-se que
A^T=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&3&0\\\ 1&1&1\end{pmatrix}=B,
portanto de fato B=A^T.

Passo 4

A matriz
A=\begin{pmatrix}1&2&1\\\ 0&3&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix}
é triangular superior. Calculando A^{-1} por sistema AY=I achamos
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac23 & -\tfrac13\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac13\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Logo
\tfrac13A=\begin{pmatrix} \tfrac13&\tfrac23&\tfrac13\\\\ 0&1&\tfrac13\\\\ 0&0&\tfrac13 \end{pmatrix}, \quad \tfrac13A+A^{-1}=\frac43\,I_3.
E como vimos, A é triangular superior, não inferior.

Passo 5

Como B=A^T, temos
AB=A\,A^T
que é simétrica e invertível. Então (AB)^{-1} é simétrica, e o produto
(AB)^{-1}(AB)^{-1}
sendo potência de matriz simétrica, permanece simétrico.

Resposta

(a) \mathrm{rank}(M)=3. O sistema tem solução única, pois posto da ampliada = posto da de coeficientes =3.
(b) B+3B^{-1}=4I_3. Sim, B=A^T.
(c) \tfrac13A+A^{-1}=\tfrac43I_3. Não, A é triangular superior.
(d) Sim, (AB)^{-1}(AB)^{-1} é matriz simétrica.

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