(2, 0 pontos) Determine \mathrm{o}(\mathrm{s}) valor(es) de m \in \mathbb{R} tais que o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{rrr}x-y+\left(m^{2}-7\right) z & = & m+3 \\\ x+z & = & 3 \\\ x-y+2 z & = & 6\end{array}:\right.
(a) Tenha infinitas soluções.
(b) Não tenha solução.
(c) Tenha uma única solução.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de m\in\mathbb{R} de modo que o sistema
\begin{cases} x - y + (m^2 -7)\,z = m + 3,\\\ x + z = 3,\\\ x - y + 2\,z = 6 \end{cases}
tenha (a) infinitas soluções, (b) nenhuma solução ou (c) solução única.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com parâmetro, usando determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m^2-7\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Por operações elementares (subtraindo a segunda linha da primeira e da terceira) obtemos
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & m^2-8\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - (m^2-8)(-1) = m^2 - 9.
Logo, se m^2-9\neq0, isto é, m\neq \pm3, temos \det A\neq0 e o sistema possui solução única.

Passo 3

Quando m^2-9=0, isto é, m=3 ou m=-3, o determinante zera e precisamos verificar consistência comparando a primeira e a terceira equações, ambas com o mesmo lado esquerdo x-y+2z:
  • Se m=3, a primeira equação fica
    x - y + 2z = 3 + 3 = 6,
    que coincide com a terceira. Então há apenas duas equações independentes para três incógnitas, gerando infinitas soluções.
  • Se m=-3, a primeira equação fica
    x - y + 2z = -3 + 3 = 0,
    enquanto a terceira é x - y + 2z = 6. Como 0\neq6, as equações são contraditórias e o sistema não tem solução.

Resposta

(a) m = 3
(b) m = -3
(c) m \neq \pm3

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