Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
(c) O número é par com todos os dígitos distintos.

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de 5 dígitos (ou seja, primeiro dígito de 1 a 9), que sejam pares (último dígito par) e ainda tenham todos os dígitos distintos. Vamos usar o princípio multiplicativo e permutações, lembrando que
\mathrm{P}(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}\,.

Passo 2

Como o último dígito precisa ser par e distinto dos demais, dividimos em dois subcasos:
  1. Último dígito =0.
  2. Último dígito em \{2,4,6,8\}.

Passo 3

Caso 1: último dígito =0.
  • Escolhas para o último dígito: 1 (zero).
  • Escolhas para o primeiro dígito: 9 (qualquer de 1 a 9).
  • Sobram 8 dígitos para preencher as três posições do meio, de forma distinta, em \mathrm{P}(8,3) arranjos, isto é
\mathrm{P}(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336.
Total deste caso:
9 \times 336 = 3024.

Passo 4

Caso 2: último dígito em \{2,4,6,8\}.
  • Escolhas para o último dígito: 4.
  • Para o primeiro dígito: qualquer de 1 a 9, exceto o já usado no fim, ou seja, 8 opções.
  • As três posições do meio ficam com permutações dos 8 dígitos restantes: \mathrm{P}(8,3)=336.
    Total deste caso:
4 \times 8 \times 336 = 10752.

Passo 5

Somando os dois casos disjuntos, o total de números pedidos é
3024 + 10752 = 13776.

Resposta

13776

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