Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
x d ud x+2 u=sen x, u(pi / 2)=1, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
xdudx+2u=sin x, x>0
com condição inicial u(pi/2)=1.
É uma equação linear no formato padrão
dudx + P(x),u = Q(x),
onde vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x:
dudx + 2x,u = sin xx

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral 2x,dxr)=exp(2ln x)=x^2
Multiplicando a equação por mu(x) obtém-se
x^2dudx + 2x,u = xsin x,
que reconhecemos como
ddxl(x^2,ur)=xsin x

Passo 4

Integramos ambos os lados:
x^2,u=integral xsin x,dx + C
Para calcular integral xsin x,dx usamos integração por partes:
integral xsin x,dx =-xcos x + integral cos x,dx =-xcos x + sin x
Logo
x^2,u=-xcos x + sin x + C,
e a solução geral é
u(x)=-xcos x + sin x + Cx^2

Passo 5

Aplicamos a condição inicial u(pi/2)=1. Como cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, temos
1 = -tfracpi2cdot0 + 1 + C(pi/2)^2 =1+Cpi^2/4 Longrightarrow 1+C=pi^24 Longrightarrow C=pi^24-1

Resposta

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