Considere a trajetória de uma partícula quando ela se move no plano após ser lançada, a partir da origem, com uma velocidade inicial v0 e a um ângulo theta0 com a horizontal.
a) Mostre que o módulo do vetor velocidade ( |v|), para o instante em que a partícula atinge a altura máxima, é igual a |v0| cos theta0.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “uma partícula é lançada do ponto (0,0) com velocidade inicial v0 num ângulo theta0 em relação à horizontal. Mostrar que, no instante em que ela atinge a altura máxima, o módulo da sua velocidade vale |v0|costheta0.”
Conteúdo: Cinemática de projéteis em 2D, decomposição de vetores e cálculo de módulo de velocidade. Vamos precisar entender componentes horizontal e vertical da velocidade, como a gravidade afeta só a componente vertical, e lembrar que no ápice a velocidade vertical zera.

Passo 2

Primeiro a gente decompõe a velocidade inicial em componentes:
  • Componente horizontal:
v0x=|v0|costheta0
- Componente vertical:
v0y=|v0|sintheta0
Isso é só usar trigonometria num triângulo retângulo formado por v0.

Passo 3

Durante o voo, a gravidade acelera para baixo só a componente vertical. A componente horizontal continua constante (não há força horizontal):
vx(t)=v0x
Já a componente vertical varia como
vy(t)=v0y-g,t
No ponto mais alto, por definição, a partícula “para” de subir e começa a descer, então a componente vertical é zero:
vy(ttopo)=0Longrightarrow v0y-g,ttopo=0

Passo 4

No instante de altura máxima, a velocidade é
v(ttopo)=l(vx,,vyr)=l(v0x,,0r)
O módulo de um vetor em 2D é
|v|=raizvx^2+vy^2
Logo
|v(ttopo)|=raizv0x^2+0^2=;v0x=;|v0|costheta0

Resposta

No instante em que a partícula atinge a altura máxima, o módulo da velocidade é
boxed|v|=|v0|costheta0,

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