Considere a tranformção linear dada a seguir:
l T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(3 x, 2 y, y+2 z) [T]=(lll 3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 1 & 2 ) e [T]-(lambda I3)=(ccc 3-lambda & 0 & 0 0 & 2-lambda & 0 0 & 1 & 2-lambda )
O operador T acima possuidois autovalores distintos: lambda1=2 e lambda2=3.
Escreva um autovetor associado ao autovalor lambda2=3.
Obs: Afim de evitar falsos erros, escreva a resposta da seguinte forma: ( x : y; z ), favor usar o ponto virgula e escrever as coordenadas sem espaçamento.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z) = (3x,,2y,,y+2z)
com autovalores lambda1=2 e lambda2=3. Queremos um autovetor associado a lambda2=3, ou seja, resolver
(T - 3I3)(x,y,z) = 0

Passo 2

Vamos escrever a matriz T-3I3. Como
[T] = 3 & 0 & 0 [6pt] 0 & 2 & 0 [6pt] 0 & 1 & 2 ,
temos
[T] - 3I3 = 3-3 & 0 & 0 [6pt] 0 & 2-3 & 0 [6pt] 0 & 1 & 2-3 = 0 & 0 & 0 [4pt] 0 & -1 & 0 [4pt] 0 & 1 & -1 ]

Passo 3

Aplicando
Da segunda equação vem , logo . A primeira não impõe restrição em , que é livre.

Passo 4

Como x é parâmetro, podemos escolher x=1 para obter um autovetor simples. Então
v = (1,0,0)
é um autovetor associado ao autovalor lambda2=3.

Resposta

( 1: 0; 0)

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