I. Seja uma matriz . Se, para quaisquer , o sistema linear
possuir uma única solução, então é possível obter a matriz identidade fazendo operações elementares de escalonamento sobre as linhas da matriz A.
II. Se P e Q são soluções de um sistema linear, então P+Q necessariamente é solução desse sistema.
III. Se P e 2 P são soluções de um sistema linear, então lambda P necessariamente é solução desse sistema, para todo lambda in R.
Está correto o que se afirma em
(A) I e III, apenas.
(B) II e III, apenas.
(C) I, II e III.
(D) I e II, apenas.
(E) I, apenas.
Passo 1
O enunciado trata de três afirmações sobre sistemas lineares A x = b em R^n:
I. Se para todo vetor b o sistema tem solução única, então dá para escalonar A até a identidade.
II. Se P e Q são soluções, então P+Q é solução.
III. Se P e 2P são soluções, então lambda P é solução para todo lambdainR.
Vamos usar conceitos de matriz invertível, homogeneidade de sistemas lineares e propriedades de espaços afins para verificar cada item.
Passo 2
Analisando a afirmação I:
Se A é ntimes n e para qualquer b o sistema A x=b tem uma única solução, isso significa que A é invertível (posto máximo). Matrizes invertíveis são exatamente aquelas que podem ser reduzidas à matriz identidade usando operações elementares de linha. Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
Suponha P e Q satisfazem A P=b e A Q=b. Então
A(P+Q)=A P + A Q = b + b = 2b
Para que P+Q fosse solução teríamos A(P+Q)=b, mas na verdade obtemos 2bneq b em geral. Portanto, II é falsa (só valeria se b=0, i.e., sistema homogêneo).
Passo 4
Analisando a afirmação III:
Suponha P e 2P são soluções, isto é,
A P = b e A(2P)=b implies 2,A P = b implies 2b = b implies b = 0
Isso mostra que o sistema é homogêneo (b=0). Num sistema homogêneo vale A(lambda P)=lambda,A P=lambdacdot0=0, logo lambda P é solução para qualquer lambda. Assim, III é verdadeira.
Passo 5
Das análises: I e III são verdadeiras, II é falsa.