Uma matriz quadrada B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B^2=A.
Encontre duas raizes quadradas de (ll1 & 1 1 & 1).

Passo 1

O enunciado pede matrizes B tais que B^2=A, onde
A = 1 & 1 1 & 1
O conteúdo aqui é encontrar raízes quadradas de matrizes usando a observação de que A tem posto 1 e que é proporcional à matriz de todas as entradas iguais; vamos explorar a propriedade de que, chamando
J = 1 & 1 1 & 1,
temos A = J.

Passo 2

Calcular J^2. Basta multiplicar
J^2 = 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 1 = 2 & 2 2 & 2 = 2,J

Passo 3

Proponha B = a,J, com escalar a. Então
B^2 = (a,J)^2 = a^2,J^2 = a^2,(2J) = 2a^2,J
Para que B^2=A=J, precisamos de
2a^2,J = J Longrightarrow 2a^2 = 1

Passo 4

Da equação 2a^2=1 segue
a^2 = tfrac12 Longrightarrow a = pm 1raiz2
Portanto existem duas escolhas de a, dando duas raízes quadradas.

Resposta

B1 = 1raiz2 1 & 1 1 & 1, B2 = -,1raiz2 1 & 1 1 & 1

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