l x+w=0 alpha x+2 y+z+2 w=beta x-2 y-z=gamma
com incógnitas x, y, z, w. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA.
(A) Se alpha neq 1, então o sistema possui uma única solução.
(B) Se alpha=1 e beta+gamma=0, então o sistema possui infinitas soluções.
(C) Se alpha=2 e beta+gamma=1, então o sistema possui infinitas soluções.
(D) Para quaisquer alpha, beta, gamma in R, o sistema possui infinitas soluções ou não possui solução.
(E) Se alpha=3 e gamma=2, então o sistema possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w e três equações que envolvem o parâmetro alpha e os termos independentes beta,gamma. Vamos usar substituição para eliminar w e depois analisar a quantidade de soluções (nenhuma, única ou infinita) em função de alpha e de beta+gamma.

Passo 2

Da primeira equação
x + w = 0
segue
w = -x
Substituindo em
alpha x + 2y + z + 2w = beta,
obtemos
(alpha - 2)x + 2y + z = beta,
e mantemos
x - 2y - z = gamma
Somando essas duas últimas equações vem
(alpha-2)x + 2y + z + l(x - 2y - zr)=beta+gamma Longrightarrow (alpha-1)x = beta+gamma

Passo 3

Suponha alpha neq 1. Então
x = beta+gammaalpha-1
é único. As duas equações originais em y,z se reduzem a um só vínculo linear, deixando uma variável livre. Logo há infinitas soluções (um grau de liberdade para (y,z), e w=-x).

Passo 4

Suponha alpha=1. A equação (alpha-1)x=beta+gamma vira
0cdot x = beta+gamma
Se beta+gammaneq0, isso é inconsistente e não há solução. Se beta+gamma=0, a equação some e sobra apenas um vínculo entre x,y,z, dando infinitas soluções (duas variáveis livres).

Passo 5

Comparando com as alternativas:
(A) afirma que para alphaneq1 há única solução, mas vimos que há infinitas.
(B), (C) e (E) descrevem corretamente casos de infinitas soluções, e (D) resume bem que só há infinitas soluções ou nenhuma.
Portanto a única afirmação FALSA é a (A).

Resposta

(A)

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