Considere a transferência de calor bidimensional em um sistema de coordenadas cartesianas, em regime estacionário, com geração volumétrica de calor. Desenvolva a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior m, considerando-se uma malha uniforme (De

Passo 1

Estamos lidando com condução de calor bidimensional em regime estacionário com geração volumétrica de calor. O objetivo é obter a fórmula em diferenças finitas para um nó interno m numa malha uniforme (Δx=Δy), usando aproximação de diferenças centrais.

Passo 2

A equação diferencial de conservação de energia, em regime estacionário e com geração volumétrica ,\dot{q}, é dada por:
k(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2)+dotq=0
onde k é a condutividade térmica e T(x,y) a temperatura.

Passo 3

Vamos aproximar cada derivada segunda por diferenças centrais. Para o nó P (índice m), com vizinhos leste (E), oeste (W), norte (N) e sul (S), temos:
partial^2 Tpartial x^2|PapproxTE-2TP+TWDe
Substituindo essas aproximações na equação diferencial:
kl(TE-2TP+TWDe

Passo 4

Como a malha é uniforme (Δx=Δy), podemos chamar esse passo por Δ:
kTE+TW+TN+TS-4TPDe
Agora basta isolar T_P para obter a fórmula de diferenças finitas no nó interno:
TP=TE+TW+TN+TS4+dotq,De

Resposta

TP=TE+TW+TN+TS4+dotq,De

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