Considere a transferência de calor bidimensional em um sistema de coordenadas cartesianas, em regime estacionário, com geração volumétrica de calor. Desenvolva a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior
, considerando-se uma malha uniforme
Passo 1
Estamos lidando com condução de calor bidimensional em regime estacionário com geração volumétrica de calor. O objetivo é obter a fórmula em diferenças finitas para um nó interno m numa malha uniforme (Δx=Δy), usando aproximação de diferenças centrais.
Passo 2
A equação diferencial de conservação de energia, em regime estacionário e com geração volumétrica ,\dot{q}, é dada por:
onde k é a condutividade térmica e T(x,y) a temperatura.
Passo 3
Vamos aproximar cada derivada segunda por diferenças centrais. Para o nó P (índice m), com vizinhos leste (E), oeste (W), norte (N) e sul (S), temos:
Substituindo essas aproximações na equação diferencial:
Passo 4
Como a malha é uniforme (Δx=Δy), podemos chamar esse passo por Δ:
Agora basta isolar T_P para obter a fórmula de diferenças finitas no nó interno: