(a) Calcule o determinante jacobiano de .
(b) Mostre que transforma uma superfície esférica centrada na origem em uma outra superfície esférica centrada na origem.
Passo 1
O enunciado define a transformação
em .
(a) Pede o determinante jacobiano de .
(b) Pede para mostrar que leva cada esfera centrada na origem numa outra esfera centrada na origem.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, jacobiano e interpretação geométrica de normas em .
Passo 2
Calcular a matriz jacobiana . Defina
então . Ao derivar, por exemplo
e assim por diante para as demais componentes. Logo
Passo 3
Usar o fato de que, para matriz e vetor ,
Como a constante está em cada linha de , ela contribui com fator para o determinante.
Passo 4
Combinando os resultados de
Passo 5
Passo 6
Para mostrar que esferas viram esferas, note
Se (u,v,w) está na esfera de raio R (isto é, u^2+v^2+w^2=R^2), então |T(u,v,w)|=1/R, ou seja, a imagem fica na esfera de raio 1/R, centrada na origem.
Resposta
(a) det DT(u,v,w)=-l(u^2+v^2+w^2r)^-3
(b) T leva a esfera (u,v,w):u^2+v^2+w^2=R^2 na esfera xinR^3:|x|=1/R, ambas centradas na origem.