Considere a transformação T: R^3 backslash(0,0,0) R^3 definida por
T(u, v, w)=(uu^2+v^2+w^2, vu^2+v^2+w^2, wu^2+v^2+w^2)
(a) Calcule o determinante jacobiano de T.
(b) Mostre que T transforma uma superfície esférica centrada na origem em uma outra superfície esférica centrada na origem.

Passo 1

O enunciado define a transformação
T(u,v,w)=gl(uu^2+v^2+w^2,,vu^2+v^2+w^2,,wu^2+v^2+w^2gr)
em R^3setminus0.
(a) Pede o determinante jacobiano de T.
(b) Pede para mostrar que T leva cada esfera centrada na origem numa outra esfera centrada na origem.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, jacobiano e interpretação geométrica de normas em R^3.

Passo 2

Calcular a matriz jacobiana . Defina
então . Ao derivar, por exemplo
e assim por diante para as demais componentes. Logo

Passo 3

Usar o fato de que, para matriz A=r^2I3 e vetor U=(u,v,w)^T,
detl(A-2,U,U^Tr) =(r^2)^2,l(r^2-2,U^TUr) =r^4(r^2-2r^2) =-r^6
Como a constante tfrac1r^4 está em cada linha de DT, ela contribui com fator (1/r^4)^3=1/r^12 para o determinante.

Passo 4

Combinando os resultados de

Passo 5

det DT(u,v,w) =1r^12;l(-r^6r) =-1r^6 =-l(u^2+v^2+w^2r)^-3

Passo 6

Para mostrar que esferas viram esferas, note
l|T(u,v,w)r| =raizu^2+v^2+w^2(u^2+v^2+w^2)^2 =1raizu^2+v^2+w^2
Se (u,v,w) está na esfera de raio R (isto é, u^2+v^2+w^2=R^2), então
|T(u,v,w)|=1/R, ou seja, a imagem fica na esfera de raio 1/R, centrada na origem.

Resposta

(a) det DT(u,v,w)=-l(u^2+v^2+w^2r)^-3
(b) T leva a esfera (u,v,w):u^2+v^2+w^2=R^2 na esfera xinR^3:|x|=1/R, ambas centradas na origem.

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