Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a.
29. f(x)=e^x, a=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de a=2. Vamos usar a fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de x=a:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Para aplicar, precisamos das derivadas de f e de seus valores em x=2.

Passo 2

Repare que, para todo n>=0,
f^(n)(x)=d^ndx^ne^x=e^x,
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f^(n)(2)=e^2

Passo 3

Substituindo f^(n)(2)=e^2 na fórmula da série de Taylor com a=2, obtemos
f(x)=sumn=0^inftye^2n!(x-2)^n = e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!

Passo 4

Como a exponencial é uma função inteira, essa série converge para todo xinR, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!

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