Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x para os quais a série converge absolutamente.
35. f(x)=(sen x) ln (1+x)

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros coeficientes não nulos da série de Maclaurin de
f(x)=sin x;ln(1+x)
e o intervalo de convergência absoluta. O conteúdo envolve séries de potências, mais especificamente as expansões de Maclaurin de sin x e de ln(1+x) e a técnica de multiplicação de duas séries.

Passo 2

Vamos anotar as séries conhecidas em torno de x=0:
sin x = x - x^36 + x^5120 - cdots,
ln(1+x)=x - x^22 + x^33 - x^44 + cdots

Passo 3

Multiplicamos termo a termo, procurando as potências mais baixas de x. Se
sin x=sumk>=1akx^k, ln(1+x)=summ>=1bmx^m,
então em f(x)=sumn>=2cnx^n vale
cn=sumk=1^n-1ak,b,n-k
Para os três primeiros n tais que cnneq0:
n =2:
c2=a1b1=1cdot1=1Longrightarrow;x^2
n =3:
c3=a1b2+a2b1 =1cdotl(-tfrac12r)+0cdot1 =-tfrac12,
mas atenção: a2=0, porém há a3b0? Não existe b0. Logo
c3=-tfrac12,
entretanto note que também há a3b1=(-tfrac16)cdot1, e isso soma em n=4, não em n=3. Assim
c3=-12-16=-23
n =4:
c4=a1b3+a3b1 =1cdot13+(-tfrac16)cdot1 =13-16=16
Portanto os três primeiros termos não nulos são
x^2-23x^3+16x^4+cdots

Passo 4

O raio de convergência de sin x é infinito, e o de ln(1+x) é 1 (convergência condicional em x=1, mas não absoluta). O produto de séries converge absolutamente na interseção dos intervalos de convergência absolutas, ou seja
|x|<1

Resposta

sin x,ln(1+x)=x^2-23x^3+16x^4+cdots,
converge absolutamente para |x|<1.

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