Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de
para os quais a série converge absolutamente.
35.
35.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros coeficientes não nulos da série de Maclaurin de
e o intervalo de convergência absoluta. O conteúdo envolve séries de potências, mais especificamente as expansões de Maclaurin de
e de
e a técnica de multiplicação de duas séries.
Passo 2
Vamos anotar as séries conhecidas em torno de
:
Passo 3
Multiplicamos termo a termo, procurando as potências mais baixas de
. Se
então em
vale
Para os três primeiros
tais que
:
n :
n
n
:
mas atenção:
, porém há
? Não existe
. Logo
entretanto note que também há
, e isso soma em
, não em
. Assim
n
:
Portanto os três primeiros termos não nulos são
Passo 4
O raio de convergência de
é infinito, e o de
é
(convergência condicional em
, mas não absoluta). O produto de séries converge absolutamente na interseção dos intervalos de convergência absolutas, ou seja
Resposta
converge absolutamente para
.