Se o potencial eletromagnético A é dado por A= y zr(x^2+y^2) i-x zr(x^2+y^2) j, mostre que a indução magnética B=nabla times A é dada por B=rr^2 r equiv raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial vetor
A(x,y,z) =y,zr,(x^2+y^2),i -x,zr,(x^2+y^2),j,
com r=raizx^2+y^2+z^2, e pede para mostrar que
B=nablatimesA =rr^2
O conteúdo é cálculo de rotacional usando coordenadas esféricas e a relação entre as bases cartesianas i,j,k e esféricas r,boldsymboltheta,boldsymbolphi.

Passo 2

Primeiro vamos escrever A na base esférica. Note que
rho=raizx^2+y^2=rsintheta, z=rcostheta,
e que
boldsymbolphi =(-sinphi),i+(cosphi),j =-y,i+x,jrho
Reescrevendo A:
A =zr, y,i-x,jx^2+y^2 =zr, -(rho,boldsymbolphi)rho^2 =-zr,rho,boldsymbolphi
Em função de theta e phi:
z/r=costheta, rho=rsintheta ;Longrightarrow; Ar=0, Atheta=0, Aphi=-costhetarsintheta

Passo 3

Em coordenadas esféricas o rotacional tem a componente radial
(nablatimesA)r =1rsintheta, partialpartialthetal(Aphi,sinthetar)
Aqui
Aphi,sintheta =-costhetarsintheta,sintheta =-costhetar,
então
partialpartialthetal(Aphi,sinthetar) =partialpartialthetal(-costhetarr) =sinthetar
Logo
Br =1rsintheta,sinthetar =1r^2,
e as outras componentes Btheta=0, Bphi=0.

Passo 4

Reunindo,
B =(nablatimesA) =1r^2,r

Resposta

B=rr^2

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