Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de
para os quais a série converge absolutamente.
34.
34.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
e o conjunto de
em que essa série converge absolutamente. O conteúdo envolve expansão em série de potências, uso da série conhecida de
e teste de convergência (ratio test).
Passo 2
Recordando a série de Maclaurin de
:
Passo 3
Multiplicamos o polinômio
por essa série:
Para encontrar os termos de menor grau, basta desenvolver as somas até
.
Passo 4
Coletemos coeficientes de
no produto direto:
-
contribui com
-
contribui com
-
contribui com
Somando essas três contribuições, obtemos
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
Logo os três primeiros termos não nulos são
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
Logo os três primeiros termos não nulos são
Passo 5
Como
é produto de um polinômio com
e a série de
tem raio de convergência infinito, a série de
também converge absolutamente para todo
.
Resposta
Os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin são
e a série converge absolutamente para todo
.