Encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x para os quais a série converge absolutamente.
34. f(x)=(1-x+x^2) e^x

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
f(x)=(1 - x + x^2)e^x
e o conjunto de x em que essa série converge absolutamente. O conteúdo envolve expansão em série de potências, uso da série conhecida de e^x e teste de convergência (ratio test).

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de e^x:
e^x = sumn=0^infty x^nn! = 1 + x + x^22! + x^33! + x^44! + cdots

Passo 3

Multiplicamos o polinômio 1 - x + x^2 por essa série:
f(x) = (1 - x + x^2)sumn=0^inftyx^nn! = sumn=0^inftyx^nn! - sumn=0^inftyx^n+1n! + sumn=0^inftyx^n+2n!
Para encontrar os termos de menor grau, basta desenvolver as somas até x^3.

Passo 4

Coletemos coeficientes de x^0, x^1, x^2, x^3 no produto direto:
  1. 1cdot(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdots) contribui com
1 + x + x^22 + x^36
  1. -xcdot(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdots) contribui com
-,x - x^2 - x^32
  1. x^2cdot(1 + x + tfracx^22 + cdots) contribui com
x^2 + x^3
Somando essas três contribuições, obtemos
coeficiente de x^0: 1,
coeficiente de x^1: 1 - 1 = 0,
coeficiente de x^2: tfrac12 -1 +1 = tfrac12,
coeficiente de x^3: tfrac16 -tfrac12 +1 = tfrac46 = tfrac23.
Logo os três primeiros termos não nulos são
1, 12 x^2, 23 x^3

Passo 5

Como f(x) é produto de um polinômio com e^x e a série de e^x tem raio de convergência infinito, a série de f(x) também converge absolutamente para todo xinR.

Resposta

Os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin são
1 + 12 x^2 + 23 x^3 + cdots
e a série converge absolutamente para todo xinR.

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