Para a função
:
(a) Verifique se é diferenciável em
(b) Calcule a derivada direcional na direção
(a) Verifique se é diferenciável em
(b) Calcule a derivada direcional na direção
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: (a) verificar se ela é diferenciável em
e (b) calcular a derivada direcional em
na direção
. Para isso, lembramos que diferenciabilidade em um ponto exige, antes de tudo, continuidade ali, e que a derivada direcional em
na direção
é
Passo 2
Testamos a continuidade de
em
através de limites por caminhos distintos.
Ao longo da reta (com
e
) temos
Ao longo da reta
Já ao longo da reta
(com
) temos
Como esses dois limites são diferentes, o limite
não existe. Logo
não é contínua em
e, portanto, não pode ser diferenciável ali.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada direcional na direção
, escreveríamos
Para
calculamos
Passo 4
Note que
não está nem definido, então não há valor base para subtrair. Mesmo que tentássemos estender
definindo
, o quociente ficaria
que diverge para
quando
. Portanto, a derivada direcional em
não existe (é infinita).
Resposta
(a)
não é diferenciável em
pois não é contínua ali.
(b) A derivada direcional de em
na direção
não existe (diverge).
(b) A derivada direcional de