Para a função z(x, y)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) :
(a) Verifique se é diferenciável em (0,0)
(b) Calcule a derivada direcional na direção (1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
e pede: (a) verificar se ela é diferenciável em (0,0) e (b) calcular a derivada direcional em (0,0) na direção (1,1). Para isso, lembramos que diferenciabilidade em um ponto exige, antes de tudo, continuidade ali, e que a derivada direcional em (0,0) na direção u é
D_{u}z(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{z(0+t\,u)-z(0,0)}{t}.

Passo 2

Testamos a continuidade de z em (0,0) através de limites por caminhos distintos.
Ao longo da reta y=0 (com x\to0 e x\neq0) temos
\arctan\!\bigl(\tfrac{0}{x}\bigr)=0.
Já ao longo da reta y=x (com x\to0^+) temos
\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{x}\bigr)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Como esses dois limites são diferentes, o limite (x,y)\to(0,0) não existe. Logo z não é contínua em (0,0) e, portanto, não pode ser diferenciável ali.

Passo 3

Aplicando a definição de derivada direcional na direção (1,1), escreveríamos
D_{(1,1)}z(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{z(t,t)-z(0,0)}{t}.
Para t\neq0 calculamos
z(t,t)=\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{t}\bigr)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Note que z(0,0) não está nem definido, então não há valor base para subtrair. Mesmo que tentássemos estender z definindo z(0,0)=L, o quociente ficaria
\frac{\pi/4 - L}{t},
que diverge para \pm\infty quando t\to0. Portanto, a derivada direcional em (1,1) não existe (é infinita).

Resposta

(a) z não é diferenciável em (0,0) pois não é contínua ali.
(b) A derivada direcional de z em (0,0) na direção (1,1) não existe (diverge).

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