Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem que calcular para uma transformação linear que vai de para . Sabemos como age em três vetores específicos:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares, que nos permitem expressar como combinação linear das imagens que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores para os quais já sabemos a imagem pela transformação . Ou seja, vamos encontrar coeficientes , e tais que:
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos começar isolando gamma da primeira equação:
gamma = a - alpha
Substituindo na terceira equação:
beta + (a - alpha) = c Rightarrow beta = c - a + alpha
Agora, substituímos beta na segunda equação:
alpha + (c - a + alpha) = b Rightarrow 2alpha = b + a - c Rightarrow alpha = a + b - c2
Passo 5
Com alpha encontrado, podemos achar gamma e beta :
gamma = a - a + b - c2 = 2a - a - b + c2 = a - b + c2
beta = c - a + a + b - c2 = 2c - 2a + a + b - c2 = -a + b + c2
Passo 6
Agora que temos alpha , beta e gamma , podemos expressar T(a, b, c) usando a linearidade da transformação T :