Considere a transformação T: R^3 P3(R) definida por:
T(1,1,0)=3+x+x^3, T(0,1,1)=2+x^2, T(1,0,1)=x-x^3
Calcule T(a, b, c) para a transformação linear T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem que calcular T(a, b, c) para uma transformação linear T que vai de R^3 para P3(R) . Sabemos como T age em três vetores específicos:
T(1,1,0) = 3 + x + x^3, T(0,1,1) = 2 + x^2, T(1,0,1) = x - x^3
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares, que nos permitem expressar T(a, b, c) como combinação linear das imagens que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor (a, b, c) como uma combinação linear dos vetores para os quais já sabemos a imagem pela transformação T . Ou seja, vamos encontrar coeficientes alpha , beta e gamma tais que:
(a, b, c) = alpha (1, 1, 0) + beta (0, 1, 1) + gamma (1, 0, 1)

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações para encontrar alpha , beta e gamma :
alpha + gamma = a alpha + beta = b beta + gamma = c

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos começar isolando gamma da primeira equação:
gamma = a - alpha
Substituindo na terceira equação:
beta + (a - alpha) = c Rightarrow beta = c - a + alpha
Agora, substituímos beta na segunda equação:
alpha + (c - a + alpha) = b Rightarrow 2alpha = b + a - c Rightarrow alpha = a + b - c2

Passo 5

Com alpha encontrado, podemos achar gamma e beta :
gamma = a - a + b - c2 = 2a - a - b + c2 = a - b + c2
beta = c - a + a + b - c2 = 2c - 2a + a + b - c2 = -a + b + c2

Passo 6

Agora que temos alpha , beta e gamma , podemos expressar T(a, b, c) usando a linearidade da transformação T :
T(a, b, c) = alpha T(1,1,0) + beta T(0,1,1) + gamma T(1,0,1)
Substituindo os valores:
T(a, b, c) = a + b - c2(3 + x + x^3) + -a + b + c2(2 + x^2) + a - b + c2(x - x^3)

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
T(a, b, c) = (a + b - c)(3 + x + x^3) + (-a + b + c)(2 + x^2) + (a - b + c)(x - x^3)2
Distribuindo os termos:
T(a, b, c) = 3(a + b - c) + (a + b - c)x + (a + b - c)x^3 + 2(-a + b + c) + (-a + b + c)x^2 + (a - b + c)x + (a - b + c)(-x^3)2
Combinando termos semelhantes:
T(a, b, c) = 3a + 3b - 3c - 2a + 2b + 2c + (a + b - c + a - b + c)x + (-a + b + c)x^2 + (a + b - c - a + b + c)x^32
Simplificando mais:
T(a, b, c) = a + 5b - c + (2a)x + ( -a + b + c )x^2 + (0)x^32

Resposta

T(a, b, c) = a + 5b - c2 + 2a2x + -a + b + c2x^2
Ou simplificando:
T(a, b, c) = a + 5b - c2 + a,x + -a + b + c2x^2

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