Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços:
W=(x, y, z) in R^3 / x+3 y+z=2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x,y,z)in R^3mid x + 3y + z = 2
é um subespaço de R^3. Para isso vamos usar o critério de subespaço, que exige três propriedades:
  1. conter o vetor zero,
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos checar a primeira propriedade: pertence o vetor zero (0,0,0) a W? Substituindo na equação de W:
0 + 3cdot0 + 0 = 0 neq 2
Como (0,0,0)notin W, já falha o primeiro requisito de todo subespaço.

Passo 3

Para reforçar, podemos também examinar a soma de dois vetores em W. Se
;u=(x1,y1,z1)in W e ;v=(x2,y2,z2)in W, então
x1+3y1+z1 = 2 e x2+3y2+z2 = 2
Somando essas duas igualdades obtemos
(x1+x2)+3(y1+y2)+(z1+z2) = 4,
logo u+v não satisfaz =2 e não pertence a W. Falha também o fechamento sob soma.

Resposta

W não é subespaço de R^3, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob adição.

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