Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços:
W=(x, y, z) in R^3 / z=3 x+y

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid z = 3x + y
Queremos saber se W é um subespaço de R^3. Para isso, lembramos que basta mostrar que o vetor zero está em W, que W é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a W. Substituindo x=0 e y=0 na condição z=3x+y, temos
z = 3cdot 0 + 0 = 0
Logo, (0,0,0)in W.

Passo 3

Agora checamos o fechamento em soma. Sejam
u=(x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W,
onde z1=3x1+y1 e z2=3x2+y2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Para pertencer a W, precisamos de
z1+z2 = 3(x1+x2) + (y1+y2)
Como
z1+z2 = (3x1+y1)+(3x2+y2) = 3(x1+x2)+(y1+y2),
concluímos que u+vin W.

Passo 4

Falta mostrar o fechamento em multiplicação escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z)in W com z=3x+y. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Para que alpha uin W, precisamos de
alpha z = 3(alpha x) + (alpha y)
Como
alpha z = alpha,(3x+y) = 3(alpha x) + alpha y,
vemos que alpha uin W.

Resposta

W é subespaço de R^3.

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