Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços:
W=(x, y, z) in R^3 / z=0

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid z=0
do espaço vetorial R^3, e pede para verificar se W é subespaço. Para isso, vamos usar o critério padrão: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob adição;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo x=0, y=0, z=0 vemos que z=0 satisfaz a condição de W. Logo,
(0,0,0)in W

Passo 3

Verificar a clausura sob adição. Tomemos dois vetores quaisquer em W,
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2),
com z1=0 e z2=0. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (x1+x2,;y1+y2,;0+0),
e portanto u+v tem coordenada z=0, ou seja, u+vin W.

Passo 4

Verificar a clausura sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W com z=0. Então
lambda u = (lambda x,;lambda y,;lambda z) = (lambda x,;lambda y,;lambdacdot 0) = (lambda x,;lambda y,;0),
o que também está em W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três propriedades (contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), logo W é subespaço de R^3.

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