Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços:
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
do espaço vetorial
, e pede para verificar se
é subespaço. Para isso, vamos usar o critério padrão: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se,
- contém o vetor zero;
- é fechado sob adição;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero
pertence a
. Substituindo
,
,
vemos que
satisfaz a condição de
. Logo,
Passo 3
Verificar a clausura sob adição. Tomemos dois vetores quaisquer em
,
com
e
. Então
e portanto
tem coordenada
, ou seja,
.
Passo 4
Verificar a clausura sob multiplicação por escalar. Seja
e
com
. Então
o que também está em
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três propriedades (contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), logo
é subespaço de
.