8- Demonstrar que o seguinte subconjunto definido na forma:
S=(x, y, z) in R^3 / x+y-z=0 wed>= x+2 y+3 z=0
é um subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S = (x,y,z)inR^3 mid x+y-z=0 ;wed>=; x+2y+3z=0
é um subespaço de R^3.
Conteúdo: definir subespaço e verificar as três propriedades fundamentais:
  1. 0in S.
  2. u,vin Simplies u+vin S.
  3. uin S,;lambdainRimplies lambda uin S.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor nulo 0=(0,0,0) pertence a S. Substituindo em cada equação:
0+0-0=0 e 0+2cdot0+3cdot0=0
Como ambas são satisfeitas, temos 0in S.

Passo 3

Agora mostremos fechamento em relação à soma. Sejam
u=(x1,y1,z1)in S e v=(x2,y2,z2)in S
Então
x1+y1-z1=0, x1+2y1+3z1=0,
x2+y2-z2=0, x2+2y2+3z2=0
Para u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) temos
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2) =(x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)=0+0=0,
(x1+x2)+2(y1+y2)+3(z1+z2) =(x1+2y1+3z1)+(x2+2y2+3z2)=0+0=0
Logo u+vin S.

Passo 4

Falta verificar fechamento sob escalares. Seja u=(x,y,z)in S e lambdainR. Como x+y-z=0 e x+2y+3z=0, para lambda u=(lambda x,lambda y,lambda z) obtemos
lambda x+lambda y-lambda z =lambda(x+y-z)=lambdacdot0=0,
lambda x+2lambda y+3lambda z =lambda(x+2y+3z)=lambdacdot0=0
Assim lambda uin S.

Resposta

Portanto S satisfaz as três propriedades de subespaço de R^3 e é, de fato, um subespaço.

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