Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(b) T: R^2 longrightarrow R^2, com T(x, y)=(2 x, 3 y+2 x).

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(2x,;3y+2x),
e pede para decidir se T é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar que T é linear se, e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar alphainR, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Primeiro, verificamos se , pois todo mapeamento linear envia o vetor nulo no vetor nulo.
Em seguida, note que podemos escrever como multiplicação por uma matriz
Como toda aplicação dada por é linear, isso já indica linearidade.

Passo 3

Para fechar, vamos checar diretamente aditividade e homogeneidade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v) =T(x1+x2,;y1+y2) =(2(x1+x2),;3(y1+y2)+2(x1+x2))
;=l(2x1+2x2,;3y1+3y2+2x1+2x2r) =(2x1,3y1+2x1)+(2x2,3y2+2x2) =T(u)+T(v)
Para homogeneidade, dado alphainR,
T(alpha u) =T(alpha x1,alpha y1) =(2alpha x1,;3alpha y1+2alpha x1) =alpha,(2x1,;3y1+2x1) =alpha,T(u)
Logo, T satisfaz aditividade e homogeneidade.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(2x,,3y+2x) é uma transformação linear.

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