Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(b)
, com
.
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
e pede para decidir se
é uma transformação linear. Para isso, vamos lembrar que
é linear se, e somente se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Primeiro, verificamos se
, pois todo mapeamento linear envia o vetor nulo no vetor nulo.
Em seguida, note que podemos escrever
como multiplicação por uma matriz
Como toda aplicação dada por
é linear, isso já indica linearidade.
Passo 3
Para fechar, vamos checar diretamente aditividade e homogeneidade. Seja
e
. Então
Para homogeneidade, dado
,
Logo,
satisfaz aditividade e homogeneidade.
Resposta
A aplicação
é uma transformação linear.