Encontre as coordenadas do vetor 1+3 x+2 x^2 de P<= 2 em relação as seguintes bases:
(i) alpha=x, 2 x-2,3 x^2-1
(ii) beta=5,5+x, 5+x^2
(iii) de<a=2 x^2, x^2-3, x+1

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do polinômio
,p(x)=1+3x+2x^2inP<=2
em três bases diferentes. Sempre vamos proceder assim: escrever
,p como combinação linear dos vetores da base e, pela igualdade de polinômios, igualar coeficientes de 1, x e x^2, obtendo um sistema que resolvemos.

Passo 2

Base alpha=,x,;2x-2,;3x^2-1. Suponha
a,x;+;b,(2x-2);+;c,(3x^2-1);=;1+3x+2x^2
Expandindo o lado esquerdo e agrupando termos em x^2, x e constante:
3c,x^2;+;(a+2b),x;+;(-2b-c) ;=;2,x^2;+;3x;+;1
Da igualdade de polinômios segue o sistema
3c=2, a+2b=3, -2b-c=1
Resolve-se em sequência: de 3c=2 vem c=tfrac23. Substituindo em -2b-c=1 -2b-tfrac23=1Rightarrow b=-tfrac56. Finalmente a=3-2b=3+ tfrac53=tfrac143.
Logo, as coordenadas em alpha são
l[a,b,cr]alpha =l(tfrac143,,-tfrac56,,tfrac23r)

Passo 3

Base beta=,5,;5+x,;5+x^2. Suponha
c1cdot5;+;c2,(5+x);+;c3,(5+x^2) ;=;1+3x+2x^2
No lado esquerdo o coeficiente de x^2 é c3, de x é c2 e da parte constante é 5(c1+c2+c3). Igualando:
c3=2, c2=3, 5(c1+c2+c3)=1;Rightarrow;c1+3+2=tfrac15;Rightarrow;c1=-tfrac245
Portanto
l[c1,c2,c3r]beta =l(-tfrac245,,3,,2r)

Passo 4

Base de<a=,2x^2,;x^2-3,;x+1. Suponha
d1,(2x^2);+;d2,(x^2-3);+;d3,(x+1) ;=;1+3x+2x^2
O termo em x^2 é 2d1+d2, em x é d3 e o constante é -3d2+d3. Igualando:
2d1+d2=2, d3=3, -3d2+d3=1
da última vem -3d2+3=1Rightarrow d2=tfrac23, e daí 2d1=2-tfrac23=tfrac43Rightarrow d1=tfrac23.
Logo
l[d1,d2,d3r]de<a =l(tfrac23,,tfrac23,,3r)

Resposta

(i) l[;pr]alpha=l(tfrac143,,-tfrac56,,tfrac23r)
(ii) l[;pr]beta=l(-tfrac245,,3,,2r)
(iii) l[;pr]de<a=l(tfrac23,,tfrac23,,3r)

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