Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, e alpha uma base de R^2. Determine a expressão de T(x, y) sabendo que
(c) [T]alpha^beta=(cc1 & -3 0 & 1), com alpha=(-1,3),(1,1) e beta=(2,3),(-2,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^2 e as bases
alpha=v1,v2 com v1=(-1,3), v2=(1,1) no domínio e
beta=w1,w2 com w1=(2,3), w2=(-2,1) no contradomínio.
A matriz de T nessas bases é
[T]alpha^beta =1 & -30 & 1
Queremos a fórmula de T(x,y) na base padrão. Para isso usaremos que cada coluna de [T]alpha^beta são as coordenadas de T(vi) na base beta, depois reescrevemos um genérico (x,y) em coordenadas de alpha e aplicamos a linearidade.

Passo 2

As colunas de [T]alpha^beta dão
[T]alpha^betae1 = 10 Longrightarrow T(v1)=1cdot w1+0cdot w2 = (2,3),
[T]alpha^betae2 = -31 Longrightarrow T(v2)=-3,w1+1,w2 = -3(2,3)+(-2,1) = (-8,-8)

Passo 3

Escrevemos (x,y) como combinação de v1 e v2:
(x,y)=a,v1+b,v2 Longrightarrow -a+b = x, 3a+b = y
Subtraindo a primeira da segunda vem
4a = y - x, a = y-x4, b = x + a = 3x+y4

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y)=a,T(v1)+b,T(v2) =y-x4(2,3)+3x+y4(-8,-8)
Fazendo as contas dentro de um único denominador:
T(x,y) =14l((y-x)(2,3)+(3x+y)(-8,-8)r) =l(-tfrac132x-tfrac32y,,-tfrac274x-tfrac54yr)

Resposta

T(x,y)=l(-tfrac132x-tfrac32y,;-tfrac274x-tfrac54yr)

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